ALGEBRA

Autor: GONZÁLEZ PASCUAL SONIA.
Año: 2003.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO DE ALGEBRA. FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: En este trabajo se estudian fundamentalmente dos problemas: la obtención de fórmulas enumerativas para espacios lineales multisecantes a curvas lisas, siempre este número sea finito y el análisis del campo de validez de las fórmulas, es decir, para qué curvas el número buscado es finito. En cuanto al primer problema, se realiza una generalización del estudio clásico de fórmulas enumerativas para rectas multisecantes a curvas al caso de planos multisecantes. Y obtenemos además una generalización para espacios lineales cualesquiera, el número de m-espacios osculadores a curvas de Pm+2 que vuelven a cortar a la curva. En cuanto al campo de validez, probamos que las únicas curvas irreducibles con un número infinito de m-espacios osculadores que vuelven a cortar están en pm+1 y su grado es mayor que m+1, generalizando así un resultados de H.Kaji. Y probamos que para grado menor que 9 las únicas curvas con infinitas rectas cuatrisecantes son planas o están en una cuádrica o es la curva de grado 8 y género 5, contenida ocmo curva doble en una superficie reglada de grado 6 y género 1. También nos ocupamos de otras cuesitones relacionadas con rectas multisecantes especiales, como rectas bitangentes o rectas tangentes conorden de contacto mayor que 2, es decir, puntos de inflexión.

Autor: SILVA GRAÇA MARÍA MARGARIDA DA.
Año: 2004.
Universidad: BURGOS.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD HUMANIDADES Y EDUCACIÓN.

Resumen: El presente estudio se enmarca dentro de dos grandes áreas de investigación, una las representaciones sociales, en particular, sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, y otra el profesor, específicamente el profesor de Matemáticas. Esta investigación, en la que subyace un paradigma interpretativo, se desarrolló, así, en dos fases : La 1ª fase, constituida por el Estudio 1 (estudio exploratorio) y por el Estudio 2 (estudio con un grupo de referencia de profesores de Matemáticas de la Enseñanza Secundaria), se analizaron las respuestas a las siguientes preguntas: (1) ¿qué representaciones sociales sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, son compartidas por los profesores de Matemáticas de la Enseñanza Secundaria? (2) ¿cómo se caracterizan la estructura y las dimensiones de dichas representaciones? Con la 2ª fase constituida por el Estudio 3 (estudio de caso desarrollado con el profesor André, uno de los profesores que participó en el Estudio 2) y por el Estudio 4 (taller pedagógico) se buscaron respuestas, desde una perspectiva exploratoria, a las siguientes preguntas: (1) ¿cómo interpretar las prácticas lectivas de los profesores de Matemáticas de la Enseñanza Secundaria a la luz de las respectivas representaciones sociales sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje? y, (2)¿cómo contribuir para una posible dinámica de representación de las prácticas lectivas de profesores de Matemáticas de la Enseñanza Secundaria, en el caso de que éstos manifestaran representaciones sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, que no facilitan potencialmente el aprendizaje significativo de conceptos matemáticos por parte de los alumnos? El Estudio 1 tuvo como principal objetivo: identificar, caracterizar y describir las representaciones sociales de las Matemáticas de 48 sujetos, de diferentes grupos sociales, para poder conseguir indicadores para la construcción de instrumentos que se iban a utilizar en las fases posteriores de la investigación. Todos los sujetos de la muestra, realizaron una tarea programada (cuestionario de evocación jerarquizada) y respondieron a un cuestionario individual (versión 2). El análisis de los datos permitió identificar limitaciones, dificultades y aspectos a incluir/ alterar en los instrumentos utilizados. En el Estudio 2, todos los sujetos de la muestra (n=124) realizaron una tarea programada (cuestionario de evocación jerarquizada), hicieron una tarea de control de la centralidad (cuestionario de reconocimiento del objeto) y respondieron a un cuestionario individual (versión 3). En relación a estos profesores de Matemática, fueron identificadas y caracterizadas representaciones sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, sobre la respectiva estructura, organización e identificación de eventuales términos centrales, incluso habiéndose determinado componentes de las dimensiones de estas representaciones, relativas a categorías previamente definidas (epistemológica, pedagógica, afectiva y socio-cultural) y se establecieron eventuales relaciones entre éstas. El Estudio 3 permitió la caracterización de las prácticas lectivas del profesor André - relativamente al conocimiento matemático que utilizó en sus clases, su modo de interpretar el currículo, su conocimiento sobre los alumnos y los respectivos procesos de aprendizaje, e incluso, su conocimiento sobre el proceso de instrucción - así como también - su interpretación a la luz de las respectivas representaciones sociales sobre las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje. Los resultados del Estudio 4 confirman positivamente el desarrollo de programas de formación de profesores que promuevan la reflexión sobre la relación dialéctica entre sus representaciones sociales sobre la M 8 atemátic 3f8 a, su enseñanza y aprendizaje, y las respectivas prácticas lectivas, así como sobre las condiciones favorables al desarrollo del aprendizaje significativo de conceptos matemáticos por parte de los alumnos, ya que, esa reflexión contribuye potencialmente en la dinámica de las representaciones de esos profesores.

Autor: NECULA NECULA IOANA GABRIELA.
Año: 2004.
Universidad: CANTABRIA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En esta memoria se abordan algunos problemas concretos en Diseño Geométrico Asistido por Ordenador junto con sus soluciones, obtenidas estas usando técnicas simbólicas o numéricas. Los algoritmos que proporcionan dichas soluciones han sido implementados en el Sistema de Algebra Computacional Maple y en CSIS, el software que usa la empresa Candemat en el proceso de fabricación de troqueles para la estampación de carrocerías de vehículos. Se presentan dos algoritmos seminuméricos que, dado un polinomio bivariado, calculan grafos lineales que representan la estructura topológica de la curva algebraica plana real definida por la anulación del polinomio considerado. Las técnicas utilizadas en el primer algoritmo están basadas principlamente en la sucesión de Stum-Habicht del polinomio que define la curva y en la noción de posición genérica, mientras que las técnicas utilizadas en el segundo algoritmo, para evitar posibles problemas de estabilidad en el caso de coeficientes presentados en coma flotante, se basan en la reducción del problema de determinación de las raices reales del discriminante del polinomio que define la curva a un problema de valores propios generalizados y en la estructura especial del núcleo de las matrices de Bezout del polinomio considerado y sus derivadas. Se aborda el Problema de la Interpolación de Birkhoff y se estudia el comportamiento de los Esquemas de Interpolación de Birkhoff utilizando técnicas específicas de Algegra Computacional y se muestra que este problema se puede reducir a un Problema de Eliminación de Cuantificadores: precisamente a la determinación de la existencia de un punto real en una hipersuperficie módulo ciertas condiciones adicionales. El Problema de la Interpolación de Birkhoff consiste en, dado un conjunto de puntos, estudiar la existencia de un único polinomio que cumple ciertas condiciones relacionadas con su valor y/o el valor de algunas de sus derivadas en cada punto y, si la existencia y la unicidad han sido verificadas, calcular dicho polinomio. Aparte de ser un problema clásico en el Análisis Numérico y Teoría de la Aproximación, el Problema de la Interpolación de Birkhoff ha sido abordado en el contexto del Diseño Geométrico Asistido por Ordenador porque su estudio permite decidir si, dado un conjunto de puntos, existe una entidad B-spline que pase exactamente por estos puntos y además verifica ciertas condiciones adicionales. Se estudia el problema dde la implicitación de las curvas Bézier racionales planas cúbicas dando una caracterización completa de los casos degenerados y se presentauna nueva manera de plantear el problema de la implicitación en Diseño geométrico Asistido por Ordenador, junto con su aplicación en el software CSIS de la empresa Candemat. Se presentan métodos para realizar conversiones aproximadas de entidades racionales a entidades polinomiales, necesarias para el intercambio entre distintos sistemas de modelado geométrico, concretamente entre los formatos VDA e IGES, y para aborar de forma alternativa los casos de implicitación de grado elevado.

Autor: INSUA HERMO MANUEL AVELINO.
Año: 2004.
Universidad: SANTIAGO DE COMPOSTELA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS, UNIVESIDAD DE SANTIAGO.

Resumen: RESUMEN: la memoria se enmarca dentro de álgebra computacional y tiene como hilo conductor las bases de Gröbner en tres marcos diferentes de las matemática. La memoria consta de cuatro capítulos. En el primer RESUMEN: La memoria se enmarca dentro del álgebra computacional y tiene como hilo conductor las bases de Gr6bner en tres marcos diferentes de las matemáticas. La memoria consta de cuatro capítulos. En el primer capítulos se plantea la obtención de la forma normal de Smith sobre un dominio de ideales principales utilizando bases de Grobner sin cuestionarse la eficacia de dicho algoritmo. Como aplicación obtiene algoritmos para las formas canónicas racional y de Jordan de una matriz. Todos estos algoritmos son programados en el lenguaje Mathematica, desarrollando un paquete que permite calcular la forma normal de Smith y las matrices de paso con coeficientes en varios dominios de ideales principales, las formas canónicas racional y de Jordan, así como sus respectivas matrices de paso en los cuerpos de los números racionales, reales, complejos o números finitos y los generadores de los módulos crclicos en los que se descompone un módulo finita mente generado sobre el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Finaliza el primer capitulo dando aplicaciones de dichos algoritmos en la clasificación de grupos abelianos finita mente generados y en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diofánticas. En el capitulo segundo, el autor plantea una versión del algoritmo de Berlekamp, para factorizar polinomios en una variable sobre un cuerpo finito, con bases de Grobner. La justificación de dicho planteamiento se debe a que en Mathematica no tiene ningún paquete que permita dicha factorización y que el autor necesita para poder implementar algunos algoritmos sobre formas canónicas de matrices del primer capitulo. En el tercer capítulo, se plantea la construcción de bases de Grobner para ídeales bíláteros en el álgebra envolvente universal Ul(L) de un álgebra de Leibniz L de dimensión finita. Las álgebras de Leibniz son una versión no antisimétrica y no conmutativa de las álgebras de Ue. Se prueba una versión del teorema de Poincaré- Birkhoff-Witt en Ul(L) usando bases de Grobner en el álgebra asociativa libre. Usando que Ul(L) es un anillo noetheriano si L es de dimensión finita, se prueba la existencia de FG-bases de Grobner finitas para ideales biláteros en Ul(L). También se obtiene que el concepto de FG-base de Grobner introducido para Ul(L) coincide con los conceptos clásicos de bases de Gr6bner cuando se aplica a las estructuras del anillo de polinomios y del álgebra envolvente universal de un álgebra de Líe. Como aplicación se da un criterio para averiguar si un elemento pertenece a un ideal. Se dan varios ejemplos de cálculo efectivo con diferentes álgebras de Leibniz en esta parte de la memoria, usando los paquetes NCAlgebra y Bergman. Finaliza la memoria con un cuarto capítulo con todos los listados de los paquetes programados en Mathematica que se han usado en el primer capítulo.

Autor: URBANO BLANCO JUAN MANUEL.
Año: 2004.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Se estudia el conjunto de las soluciones de las inecuaciones diofánticas de la forma ax mod b /leq cx, donde a, b, y c, son números naturales, b mayor 0 y ax mod b representa el resto de dividir ax entre b. Estos conjuntos, los cuales denotmos por S(a,b,c), son semigrupos numéricos a los que llamamos proporcionalmente modulares. En el caso particular de c=1, tenemos los semigrupos modulares, escribiendo simplemente S(a,b). En el capítulo 1 estudiamos los semigrupos modulares, danto un algoritmo para decidir cuándo un semigrupo numérico dado es o no modular. También obtenemos una fórmula par el número de huecos para los semigrupos modulares. En el capítulo 2 nos ocupamos de los emigrupos proporcionammente modulares, vemos otras formas alternativas de definición y damos un algoritmo para decidir cuándo un semigrupo proporcionalmente modulares, vemos otras formas alternativas de dreinicóin y damos un algortimo para decidir cuándo un semigurpo numérico es o no proporcionalmente modular. Además estudiamos los semigrupos numéricos que se pueden expresar como intersección de semigrupos proporcionalmente modulares. En el capítulo 3 estudiamos los semigrupos modulares S (a,b) en los que a divide a b, obteniendo de forma explícita la multipolicidad, el número de Frobenius, el sistema minimal de generadores y los pseudo-números de Frobenius. En el capítulo 4 introducimos el concepto de secuencia de Bézout y lo relacionamos con los semigrupos proporcionalmente modulares. Como consecuencia, obtenemos una nueva caracterización para los semigrupos proporcionalmente modulares en términos de sus generadores minimales. En el capítulo 5, caracterizamos los semigrupos proporcionalmente modulares como el cociente por un entero positivo de un semigurpo numérico de dos generadores minimales. Ello nos permite relacionar los semigrupos proporcionalmente modulares con los denominados emigrupos afines completos. En el capítulo 6, está dedicado a los semigrupos proporcionalmente modulares irreducibles, es decir, aquellos que son simétricos o pseudo-simétricos. Además de caracterizarlos, damos una forma de generar aquellos con un número de Frobenius dado. En el capítulo 7, estudiamos las representaciones modulares S(a,b)para un semigrupo numérico. Obtenemos que todo semigrupo numérico disinto de mathbb{N} admite a lo sumo seis representaciones modulares, siendo los semigrupos numéricos de dimensión 2 aquellos que alacanzan el máximo. En el capítulo 8 caracterizamos los semigrupos numéricos generados por los primeros términos de una progresión aritmética y que son modulares. Finalmente, en el capítulo 9, proponemos unos problemas abiertos cuya solución sería de gran interés para nosotros.

Autor: GARCÍA FERNÁNDEZ ROSA MARTA.
Año: 2005.
Universidad: VALLADOLID.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Autor: GOMEZ PEREZ DOMINGO.
Año: 2005.
Universidad: CANTABRIA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En esta tesis se realiza un estudio de varios algoritmos para generación de números pseudoaleatorios definidos por ciertos generadores no lineales. Las secuencias de números pseudoaleatorios son utilizadas en diferentes campos como: la simulación, la toma de decisiones aleatorias y los algoritmos criptográficos. En estos casos se recurre a los PRNG, generadores de números pseudoaleatorios que constituyen, en definitiva, una forma de expandir unos pocos bits obtenidos por mediciones en algún experimento. Son conocidos en la literatura diferentes estudios de algunos generadores, como por ejemplo, el generador de Lehmer (lineal), el generador de Blum Blum Shub, el generador inverso. El esquema más empleado consiste en fijar un cuerpo finito y una transformación sobre él. Aplicando recursivamente esta función obtenemos una secuencia aparentemente casual de enteros en un rango acotado. En las aplicaciones a la criptografía, la semilla y las constantes que definen el generador son parte de la clave secreta. Se quiere usar la salida del generador como un cifrado en flujo. Por supuesto, si varios valores cosecutivos son revelados, entonces es sencillo descubrir la semilla y las constantes. De esta forma, solamente se exportan los bits más significativos de cada valor con la esperanza de que sea difícil predecir la suceción. En esta tesis se ha demostrado que los generadores inverso modular, el cuadratico y, más generalmente el definido por un polinomio son predecibles, si se revela un número suficientemente grande de los bits más significativos de varios elementos consecutivos. Para ello se utliza la denominada técnica del LLL-algoritmo, introducida en el célebre trabajo de Lenstra.Lenstra.Lovász. También se presentan argumentos heurísticos para cuando se posee información adicional, es decir, cuando uno más aproximaciones. Este método es utilizado también en el problema de la factorización de números enteros conociendo los bits significativos. Muchos de los resultados teóricos están apoyados por resultados de implementaciones en el lenguaje C++ en un computador. Un último lugar, hay que señalar un capítulo donde se estudia la distribución de una gran clase de generadores de números pseudoaleatorios definidos por polinomios multivariados.

Autor: MARTINEZ FERNÁNDEZ MARÍA DEL CARMEN.
Año: 2006.
Universidad: CANTABRIA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: El objetivo de este trabajo es proponer códigos perfectos para diferentes espacios de señal mutlidimensionales. Para resolver estos problemas, esta tesis presenta una relación original entre las Teorías de Grafos, Números y Códigos. Entre nuestras principales aportaciones se encuentra la propuesta de métricas adecuadas para constelaciones de señal cuadrática, hexagonal y tetradimensionales. Estas métricas están basadas en la distancia entre los vértices de una nueva clase de grafos de Cayley definida sobre anillos de enteros. Estos grafos son por tanto, modelos matemáticos de las constelaciones multidimensionales bajo estudio. La palabras código serán los elementos de ciertos anillos finitos de enteros complejos. Los anillos de enteros considerados en este trabajo son los enteros de Gauss, enteros de Eisenstein-Jacobi y los enteros de Lipschitza. Los anillos cocientes bajo estudio se definen mediante una relación de equivalencia determinada por los múltiplos de un entero generador. Las tres estructuras poseen una norma multiplicativa, que determina el cardinal del cociente y el orden del grafo de Cayley considerado. Los vértices del grafo constituyen el alfabeto y la adyacencia de éste está determinada por el conjunto de unidades del anillo. Así, el grado del grafo está determinado por el cardinal del conjunto de unidades. El problema de Teoría de Grafos conocido como el cálculo del conjunto perfecto dominante se resuelve en las familias de grafos definidas en esta memoria, esto es, grafos Gaussianos, de Eisenstein-Jacobi y de Lipschitz. En cada caso, se dan condiciones suficientes para la existencia de dicho conjunto. La obtención de estos conjuntos de dominación nos lleva directamente a la construcción de códigos perfectos sobre los alfabetos que estamos considerando. Además, en esta tesis también se obtienen algunos resutlados de isomorfía y embebimiento de grafos. Mas concretamente, se establecen las relaciones entre grafos circulantes, grafos toroidales y los grafos que aquí presentamos. En particular, existen órdenes para los que un grafo toro puede ser embebido en un grafo Gaussiano, o de Eisenstein-Jacobi o de Lipschitz. Esto implica directamente que la conocida distancia de Lee es un subcaso de las métricas presentadas en esta investigación.