GEOMETRIA ALGEBRAICA

Autor: GRAU MONTAÑA M. TERESA.
Año: 2004.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: ESCUELA DE POSTGRADO.

Resumen: Esta tesis se sitúa en el marco de la teoría cualitativa de los sistemas diferenciales en el plano. Caca capítulo contine un aspecto distinto. En la introducción, se da un resumen de los resultados conocidos y se presenta la notación usada durante el resto de la tesis. En particular, se describe el problema de la integrabilidad y algunos resultados referentes a la determinación de la estabilidad de un punto singular a una órbia periódica con el fin de introducir los últimos capítulos. Definimos el problema de la integrabilidad como el problema de encontrar una integral primera para un sistema diferencial plano y determinar la clase funcional a la cual ésta debe pertenecer. Los Capítulos 2 y 3 tratan sobre el problema de la integrabilidad. En el Capítulo 2, obtenemos un resultado que permite encontrar una expresión explícita para una integral primera para un cierto tipo de sistema polinomial. Mediante un cambio racional de variable, hacemos corresponder una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: A2 (x) w''(x) + Al (x) + A0 (x) w (x) = 0, cuyos coeficientes son polinomios, a un sistema diferencial polinomial en el plano. Probamos que dicho sistema tiene un invariante para cada solución arbitraria no nula w(x) de la edo de segundo orden, que, en caso que w(x) sea un polinomio, da lugar a una curva algebraica invariante. Además, damos una expresión explícita de una integral primera para el sistema construida a partir de dos soluciones independientes de la edo de segundo orden. Esta integral primera no es, en general, una funicón Liouvilliana. Finalmente, verificamos que todos los ejemplos conocidos de familias de sistemas cuadráticos con una curva algebraica invariante de grado arbitrariamente alto se pueden describir mediante esta construcción (módulo transformaciones birracionales). En el Capítulo 3, las curvas algebraicas invariantes de un sistema diferencial plano polinomial juegan un papel fundamental. Si una curva algebraica invariante e irreducible existe para un sistema polinomial plano, entonces los valores de su cofactor en cada punto singular no degenerado están determinados. De hecho, este valor es una combinación lineal a coeficientes naturales de los valores propios asociados al punto singula rno degnerado. Estos coeficientes naturales se pueden determinar completamente según la naturaleza del punto singular. Además, también podemos considerar los puntos del infinito. Una vez que el sistema se considera en el plano proyectivo complejo, el grado de una curva algebraica invariante deviene un parámetro de su cofactor. Si consideramos un sistema de grado d, entonces tiene d^2 + d + 1 puntos singulares (contados con su multiplicidad) y el cofactor de una curva algebraica invariante es unpolinomio de grado a lo sumo d-1. Procedemos de la manera siguiente: tomamos un polinomio de grado d-1 con sus d(d+1)/2 coeficientes arbitrarios y suponemos que es el cofactor de una curva algebraica invariante e irreducible de grado n. Entonces, imponemos todas las condiciones dadas por los puntos singulares no degenerados. En el caso general, imponemos d^2 + d+ 1 condiciones, y, en conseucencia, determinamos completamente el cofactor y el grado de la curva, cuya existencia puede ser determinada resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, mostramos una condición de incompatibilidad. Por tanto, podemos determinar la existencia de todas las curvas algebraicas invariantes para un sistema general. El Capítulo 4, trata sobre la estabilidad de una órbita periódica de un sistema diferencial plano. Suponemos que f(x,y)=0 es una curva invariante e irreducible con cofactor que contiene la órbita periódica. Pro 8 bamos qu a3b e las integrales sobre la órbita periódica de la divergencia y del cofactor coinciden. De aquí que podamos deducir la estabilidad de una órbita periódica mediante la integración del cofactor sobre ésta. En el Capítulo 5, describimos uná aplicación de los resultados dados en los Capítulos 3 y 4. Consideramos los sistemas cuadráticos con un ciclo límite algebraico conocidos hasta la redacción de esta tesis. Estos ciclos límite algebraicos están contenidos en curvas algebraicas invariantes de grados, 2,4,5 y 6 y algunas de estas familias de sistemas cuadráticos son birracionalmente equivalentes. Aplicando el método descrito en el Capítulo 3, mostramos que no existe ninguna curva algebráica invariante excepto lo que ocntiene el ciclo límite. Aprovechamos este resultado para mostrar que estos sistemas no tienen integral primera Liouvilliana. Y, aplicando la formula dada en el Capítulo 4, probamos que estos ciclos límites algebraicos son hiperbólicos. El Capítulo 6, trata sobre el estudio de las propiedades de la función periodo asocaida a un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Dada una sección transversal al flujo con dicho punto singular por extremos, podemos definir la aplicación e Poincaré y la función periodo asociadas a esta sección puesto que este punto es siempre monodrómico. Decimos que este punto es isócrono si podemos encontrar una sección tal que la función periodo asociada a ella sea constante. Esta definición generaliza la definicón usal dada para centros a cualquier punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Caracterizamos esta propiedad mediante simetrías de Lie y formas normales, generalizando los procedimientos conocidos para centros. Además, damos un ejemplo de una familia de sistemas que dependen de un parámetro real, tales que el origen es un punto singular conparte lienal de tipo centro-foco y que nunca es un punto isócrono.

Autor: MENDOZA AGUILAR JUDIT.
Año: 2005.
Universidad: LA LAGUNA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Autor: MARTINEZ RAMIREZ CRISTINA.
Año: 2005.
Universidad: AUTÓNOMA DE MADRID.
Centro de lectura: UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID.
Centro de realización: AUTONOMA DE MADRID.

Resumen: Las variedades de Severi de curvas planas irreducibles de grado d con delta nodos, fueron introducidas por Enriques y Severi al principio del pasado siglo. J. Harris probó que las variedades de Sevri son irredubiles y se planteó entonces calcular su grado. Desde entonces, diferentes autores han estudiado este problema que resulta también atractivo por su conexión con los invariantes de Gromov-Witten y la cohomología cuántica. En 1986 D.F. Coray y I. Vainsencher calcularon el grado de ciertos estratos de la variedad que parametriza la familia de superficies regladas cúbicas. En 2001, R. Hernández y M.J. Vázquez calcularon el grado de los estratos de cúbicas singulares en el espacio proyectivo parametrizando todas las superficies de grado d. Una de las formas de aproximar problemas enumerativos, es encontrar un espacio de parámetros adecuado para los objetos que queremos enumerar y expresar el locus de objetos satisfaciendo condiciones dadas como un cierto cero-ciclo en el espacio de parámetros. Por la propiedad universal de la Grassmanniana, podemos identificar una superficie reglada racional en espacio proyectivo con una curva racional en la Grassmanniana. Esto nos permite usar la variedad de morfismos racionales a la Grassmanniana, como un espacio de parámetros para superficies regladas racionales de grado d. Para aplicar las técnicas de intersección a un espacio de parámetros, se requiere una compactificación del mismo. El espacio de morfismos no es compacto, y usamos dos compactificaciones distintas de este espacio, la compactificación de Grothendieck del esquema Quot de cocientes de un fibrado trivial de rango 4 sobre la recta proyectiva, y la compactificación de Kontsevich de aplicaciones estables. Desafortunadamente, uno de los tipos de divisores que intersecamos tienen una componente contenida en la frontera del esquema Quot. Pero el otro tipo de divisores se intersecan trasversalmente y aplicamos la fórmula de Atiyah-Bott ara calcular su autointersección. GEOMETRÍA ENUMERATIVA VIA APLICACIONES ESTABLES Una de las herramientas más poderosas para resolver problemas enumerativos es por medio de las aplicaciones estables. La geometría del espacio de moduli de Kontsevich de las aplicaciones estables de grado d de curvas de género g con n puntos maracados al espacio proyectivo, es bien conocida. Ravi Vakil estudia su conexión con la geometría enumerativa de curvas racionales y cruvas elípticas en el espacio proyectivo. R. Pandharipande estudia la teoría de divisores de Q-Cartier en este espacio para el caso racional y prueba un algoritmo para calcular todos los números característicos de curvas racionales en el espacio proyectivo. También calcula el grado del lugar de curvas racionales cuspidales en el sistema lineal de las curvas de grado d planas. Hay muchos ejemplos interesantes en la literatura de cómo las técnicas de cohomología cuántica y aplicaciones estables se usan para resolver problemas enumerativos. L. Göttsche y R. Pandharipande estudian el anillo de cohomología cuántico de blow-ups en el plan proyectivo, y A. Gathmann calcula los invariatnes del blow-up del espacio proyectivo en un punto y estudia su significado enumerativo. T. Graber estudia la cohomología cuántica del esquema de Hilber del plan y construye un algoritmo recursivo que cuenta el número de curvas planas hiperelípticas de grado d y género g que pasan por 3d+1 puntos generales. La geometría enumerativa de superficies regladas en el espacio proyectivo está muy relacionada con la geometría intrínseca del espacio de moduli de Kontsevich de aplicaciones estables de curvas racionales con n puntos marcados a la Grassmanniana representando d veces el generador positivo del grupo de homología. Como la Grassmanniana es una variedad homogénea, argumentos de trasversalidad implican una relación entre los invariantes de Gromov-Witten y la geometría enumerativa. La compactificación dada del espacio de moduli de las aplicaciones estables tiene la ventaja con respecto al esquema Quot, de que los puntos de la frontera son cocientes con torsión no nula, que no dan morfismos. El anillo de cohomología cuántico de una variedad se define en términos de dato 8 s de int ae0 ersección (los invariantes de Gromo-Witten) en los espacios de aplicaciones holomorfas de curvas marcadas de género 0 a la variedad. El grado de la variedad de superficies regladas racionales de grado fijo es un coeficiente en la tabla de multiplicación del anillo de cohomología cuántico de la Grassmanniana. El anillo de cohomología cuántico de la Grassmanniana fue descrito por P. di Francesco y C. Itzykson en 1994. Las relaciones de asociatividad proprocionan muchas ecuaciones entre los invariatnes de Gromov-Witten que a menudo conducen a la determinación de todos los invariantes en términos de unos pocos números. En este trabajo, hemos aplicado el programa farsta, debido a Adrew Kresch, que utiliza las relaciones de asociatividad para calcular algunos de estos números cuánticos que nos interesan. En la segunda parte de esta memoria consideramos una cierta estratificación de la variedad de morfismos y una extensión suya al espacio de moduli de Kontsevich que compactifica esta variedad. Como consecuencia calculamos el grado del estrato de superficies regladas con una directriz de grado mínimo d/2-1. CONCLUSIÓN Y PROBLEMAS ABIERTOS 1. El problema de extender estos resultados a género arbitrario está muy relacionado con el problema de clasificación de fibrados sobre una curva de género arbitrario. En el caso elíptico, M. Atiyah ha dado una clasificación completa de los fibrados sobre una curva de género 1. Para género mayor o igual a 2, sólo se conocen resultados parciales. 2. Hemos dado una descripción del primer grupo de cohomología del espacio de Kontsevich de la Grassmanniana, ¿es posible dar una descripción completa del anillo de Chow de este anillo? Hay dos divisores naturales que podemos considerar, por ejemplo, el adivisor asociado a el locus de aplicaciones estables cuya imagen es tangente a un hiperplano fijo. Otro locus de aplicaciones describiendo una codición de codimensión 1, es el dea plciaciones cuya imagen es una curva en la Grassmanniana con una cúspide. Un problema natural es expresar estos divisores en términos d elos generadores dados del grupo de Picard y calcular las clases de los estratos definidos.

Autor: PEREZ DEL POZO ANGEL.
Año: 2005.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: En esta memoria se aborda el estudio de algunos subconjuntos de superficies de Riemann y superficies de Klein que son invariantes bajo la acción del grupo de automorfismos de éstas. El Capítulo 2 está centrado en el conjunto de puntos de Weierstrass de una superficie de Riemann. En él se establecen cotas inferiores para el peso de los puntos fijos de un automorfismo de la superficie. Estas cotas dependen del orden del automorfismo, el número de puntos fijos que posee y el género de la superficie. En el Capítulo 3 se extienden las nociones de la teoría de puntos de Weierstrass al contexto de las superficies de Klein. Se asocia a cada punto de la superficie una sucesión de enteros positivos (formada por diferencias de dimensiones de espacios de funciones meromorfas definidas sobre la superficie) que generaliza el concepto de sucesión de gaps en un punto, se estudian algunas propiedades de esta sucesión y se determina para cada punto de una superficie de Klein hiperelíptica. En el Capítulo 4 se obtienen cotas superiores para el orden de un grupo de automorfismos de una superficie de Klein con borde; estas cotas dependen del género algebraico de la superficie y de cardinales de subconjuntos finitos de la superficie, invariantes bajo la acción del grupo. Imponiendo condiciones de no transitividad en la acción del grupo sobre el conjunto de componentes conexas del borde de la superficie, se pueden aplicar las cotas obtenidas para hallar otras que sólo dependen del género algebraico.

Autor: CARAVANTES TORTAJADA JORGE.
Año: 2005.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACUTLAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS.

Resumen: Este trabajo presenta un nuevo método para comprobar si una subvariedad lisa de codimensión pequeña hereda el grupo de picard de su variedad ambiente (Salvo divisibilidad) aplicamos dicho método a subvariedades en grassmannianas de rectas y productos de espacios proyectivos, de forma que extendemos los resultados de BARTH+LARSEN para el espacio proyectivo y suavizamos las restricciones que se obtenían delos resultados de BARTH-Van de VEN y SOMMESE.

Autor: ÁLVAREZ SÁNCHEA AMELIA.
Año: 2005.
Universidad: EXTREMADURA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA.

Autor: RIERA BURGER CONSTANZA.
Año: 2005.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD CIENCIAS MATEMÁTICAS.

Resumen: Generalizamos la propiedad Bent para una función Booleana damos una interpretación espectral de complementación local y pivot, el espectro plano de una función booleana cuadrática con respecto a ciertas transformaciones unitarias se relaciona con versiones modificadas de su matriz y adyacencia asociada. Calculamos el número de espectros planos de algunas estructuras deducimos una interpretación spectral de los distintos polinomios "interlace" de un grafo y relacionamos uno de ellos con una medida cuántica de entrelazamiento del estado cuántico asociado. Caracterizamos los valores del spectro de una función booleana Cuadrática. Damos una formula para la "Weight Hierarchy" en términos de un polinomio "Interlace" modificado generalizamos pivot a hipergráfos. Mostrmaos como cambiar el grado de una función Booleana por medio de pivot. Por último, mostramos como cambia el espectro de un amplio conjunto de vectores con respecto a un conjunto significativo de transformaciones.

Autor: NAVARRO GARULO GABRIEL.
Año: 2006.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: FACULTA DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: El objetivo de la Teoría de Representación de Álgebras consiste en clasificar Álgebras, generalmente sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, en función de su categoría de módulos. Históricamente los esfuerzos se han centrado en considera únicamente el caso finito-dimensional. En este sentido destacan los trabajos de Gabriel para traducir el problema al contexto de quivers o grafos orientados y de Auslander y Reiten que proporcionaron unas herramientas fundamental es para el estudio de los módulos de un álgebra. Sin embargo, dicha teoría no es válida si el álgebra es de dimensión infinita. A este respecto surge el concepto de coálgebra como una generalización de las Álgebras finito-dimensionales y permite una aproximación al caso general desde el punto de vista clásico. En la presente tesis doctoral se estudia l posibilidad de un resultado para coálgebras análogo al conocido teorema de Gabriel que describe las Álgebras básicas finito dimensionales como cocientes de Álgebras de caminos por un idea admisible. Para este propósito se utilizan la noción de coálgebra de caminos de un quiver con relaciones definida por Simson. Dado que se obtienen contraejemplos en ese sentido e, incluso, un criterio para decidir cuando una coálgebra admisible es la coálgebra de caminos de un quiver con relaciones, la clase a considera es reducida a las coalgebras tame. Para tratar este nuevo problema se considera la localización en categorías de comodulos, relacionando la propiedad de ser tame o wild de una coálgebra y sus coálgebras localizadas. Como consecuencia de dicho análisis se obtiene el siguiente resultado: Toda subcoálgebra admisible tame de una coálgebra de caminos de un quiver aciclico es el isomorfa a una coálgebra de caminos de un quiver con relaciones.

Autor: MARCO BUZUNÁRIZ MIGUEL ÁNGEL.
Año: 2006.
Universidad: ZARAGOZA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

Resumen: Una configuración de rectas es un conjunto finito de rectas en el plano proyectivo complejo. Se pueden abstraer sus propiedades combinatorias en el concepto de combinatorias de rectas. Una de las preguntas clásicas sobre estos objetos es la de hasta qué punto la combinatoria de una configuración de rectas determina la topología de su encaje. A este respecto se conocían bastantes resultados clásicos que mostraban invariantes topológicos que podían ser calculados a partir de la información combinatoria. El primer resultado que mostraba la existencia de configuraciones combinatoriamente equivalentes con distinta topología data de 1994, cuando Rybnikov construyó dos realizaciones de una combinatoria cuyos grupos fundamentales son no isomorfos. Tales grupos pueden ser distinguidos salvo isomorfismo homológicamente trivial mediante el Invariante de Alexander. En esta memoria se estudian diferentes condiciones combinatorias que permiten deducir que todos los isomorfismos entre grupos fundamentales son homológicamente triviales. Tales combinatorias reciben el nombre de homológicamente rígidas. Para estudiar la riorigidez homológica de una combinatoria, introducimos en el capitulo 3 los conceptos de clase admisible y haz combinatorio, y mostramos su equivalencia. Estos objetos, aunque son de naturaleza combinatoria, permiten extraer información geométrica. Concretamente, describen los haces de curvas encajados en la configuración. Todo isomorfismo entre grupos fundamentales permuta estos haces, lo que puede ser utilizado para acotar el grupo de tales isomorfismos. Esta acotación es posible gracias a la existencia de una estructura subyaciente en el conjunto de haces combinatorios. Estudiamos esta estructura a través del concepto de triángulo de clases admisibles, que son temas de clases admisibles cuyos núcleos se cortan de manera no genérica. El capítulo 4 contiene la descripción y justificación de un método para establecer la rigidez homológica de una combinatoria. Se usa el método anterior para dar un criterio: cualquier combinatoria fuertemente conexa con suficientes triángulos y tal que los puntos se puedan distinguir es homológicamente rígida. La potencia de este método se muestra mediante varios ejemplos en el capítulo 5. en este mismo capítulo se ponen de manifiesto ciertas propiedades especialmente interesante de algunas combinatorias y sus realizaciones. La memoria incluye un apéndice con el código de los programas informáticos que implementan todos los algoritmos descritos durante la misma, así como algunos comentarios subre-su complejidad.