Resumen: En eta memoria estudiamos diversos aspectos del polimonio de tutte de una teselación regular comenzamos introduciendo algunas definiciones y rsultados significativos de Teoría de Grafos. En primer lugar nos centramos en el cálculo del polinomio de Tutte de teselaciones o masaicos del plano mediante cuadrados, triángulos , hexágonos y las posibles combinaciones de estos tres tipos de polígones regulares, además de estudiar diversos problemas de enumeración en varias áreas de matemáticas relacionados con dicho polinomio.Ofrecemos un sistema que permite codificar estructuras en principio tan dispares como las teselaciones regualeres del plano, y un
algoritmo efectivo que automatiza la llamada definición recursiva del polinomio de Tutte, y que permite el cálculo de dicho polinomio de fragmentos de teselaciones de grandes dimensiones .Hacemos hincapié en la importancia de este algoritmo ya que permite por primera vez alcanza dimendiones considerables, no solo en fragmentos de la malla cuadrada, sino en fragmentos de cualquier teselación plana mediante cuadrados , triángulos y hexágonos.Este avance supone el poder mejorar cotas de límites aasintóticos y el poder obtener importantes resultados en problemas de enumeración en Teoría de Grafos: el cálculo de orentaciones acíclicas y el cálculo de números de Whitney; y en dos problemas clásicos de Geometría , el cálculo del número de celdas en que arreglos de hiperplanos dividen a espacios euclídeos de altas dimensiones y el cáculo del número de vértices de un zonotopo. Dejando a un lado los problemas de enumeración, nos preguntamos hasta qué punto el polinomio de Tutte determina el grafo al cual está asociado.Esta cuestión surge debido a la cantidad de invariantes asociados a un grafo al cual está asociado.Esta cuestión surge debido a la cantidad de invariantes asociados a un grafo contenidos en el polinomio de Tutte.En esta memoria demostramos la existencia de grandes familias de grafos que tienen esta propiedad de unicidad , a la que fenominamos Tutte unicidad.Las tres familias estudiadas son los grafos localmente cuadriculados , las teselaciones hexagonales y los grafos localmente $C-6$.Todas ellas tienen en común la propiedad de lser localmente planas y esto va a permitir probar que todas estas familias de grafos son localmente orientales, herramienta necesaria para demostrar su Tutte unicidad.En primer lugar probamos que los grafos locamente cuadriculados están un´çimvocmente determinados por su polinomio de Tutte.A continuación clasificamos las teselacions hexagonales y los grafos localmente $C-6$.Estas clasificaciones adquieren gran importancia , a parte de por su propia complejidad , por se la rectificación de la clasificación dada por Tomasen en
1991.Estudiamos además distintos invariantes asociados a estas familias de grafos y demostramos la existencia de una relación de menor con los grafos localmente cuadriculados. Por último , establecemos toda la maquinaria necesaria para demostrar la Tutte unicidad de esta familia y debido a la similitud del resto de los casos, que no aportan nada nuevo desde el punto de vista matemático, nos centramos en demostrar la Tutte unicidad de la teselación hexagonal toroidal.
