TEORIA DE MATRICES

Autor: TARRAGONA ROMERO SONIA.
Año: 2004.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: AULA CAPELLA - ETSEIB.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.

Resumen: Els sistemes dinàmics lineals invariants en el temps de dimensió finita són els objectes sotmesos a estudi en la memòria. En concret, sâestudia la seva estabilitat estructural i l'efecte de pertorbacions. A tal efecte, en primer lloc es considera, en l'espai de quaternes de matrius que defineixen tals sistemes, la relació d'equivalència que admet canvis de bases, realimentacions d'estat i derivativa i injecció de sortides, i que es pot considerar com la generalització natural de les relacions de semblança en el cas de les matrius quadrades, o de semblança per blocs per a parelles de matrius. El fet de que un sistema es pugui normalitzar mitjançant una realimentació derivativa donant lloc a un sistema que no és equivalent a l'anterior per la relació d'equivalència abans descrita fa que sâintrodueixi una nova relació, que admeti també la pre-multiplicació de l'equació d'estats. A partir d'aquestes relacions d'equivalència sâobtenen sengles particions de l'espai de les quaternes de matrius, i, en casos concrets, a partir d'invariants, es pot obtenir formes canòniques (representants de les diferents classes d'equivalència). Lâestudi de pertorbacions sâefectua a partir de deformacions miniversals, seguint les tècniques geomètriques introduïdes per V.I. Arnold, en el cas de les matrius quadrades, i generalitzades per A. Tannenbaum al cas d'una varietat diferenciable qualsevol sobre la que actua un grup de Lie. El fet de que en el cas d'ambdues relacions d'equivalència aquestes puguin ser descrites d'aquesta forma, essent les classes d'equivalència també varietats diferenciables, fa que aquestes tècniques puguin ser aplicades en aquest cas. Més concretament, es descriuen les deformacions miniversals en el cas de les dues relacions d'equivalència considerades, explícitament en els casos en els què sâha obtingut formes canòniques, i sâaplica a l'obtenció de les codimensions de les òrbites. També es caracteritzen els elements estructuralment estables donant condicions suficients que els caracteritzen. En el cas dels elements que no tenen aquesta propietat, es realitza un estudi de les pertorbacions locals. Finalment, a partir de la partició de la varaietat de quaternes de matrius que defineixen els sistemes es dedueix una nova partició, localment finita, i sâestudien les propietats de regularitat de l'estratificació així obtinguda i diagrames de bifurcacions.

Autor: ROMERO REY GREGORIO.
Año: 2005.
Universidad: POLITÉCNICA DE MADRID.
Centro de lectura: E.T.SUP. INGENIEROS INDUSTRIALES.
Centro de realización: E.T.S.I. INDUSTRIALES.

Resumen: Los esfuerzos en la automatización del método de Bond-Graph en los últimos años se centran en solventar el problema de las coordenadas dependientes que aparecen frecuentemente en los sistemas mecánicos, eléctricos y térmicos. El desarrollo de esta Tesis se centra en aportar un algoritmo de asignación causal especialmente ideado para permitir máxima libertad al modelador, sin que éste se tenga que preocupar de la resolubilidad o no del sistema, y sin tener que tomar ningún tipo de decisión que pueda afectar al cálculo final, de tal forma que se resuelvan los problemas planteados a la hora de simular modelos con causalidad diferencial sin necesidad de tener que modificar el diagrama de grafos. Además, se reduce al máximo el conjunto de ecuaciones diferenciales necesario para poder realizar la simulación mediante la eliminación de las ecuaciones algebraicas del sistema DAEs, en aquellos casos donde sea posible. De esta forma se disminuye el tiempo de computación utilizado en la simulación. Por otra parte, se propone un método para la generación automática y optimizada de las ecuaciones de estado necesarias para el análisis de sistemas lineales y no lineales, formulados mediante la técnica de Bond-Graph. La construcción de dichas ecuaciones se realiza utilizando técnicas de cálculo simbólico. De esta forma, se dispone de las ecuaciones del sistema en un formato que facilita su utilización posterior para resolver problemas de sensibilidad o de optimización. Dicho método tiene en cuenta tanto las no linealidades geométricas que presentan los sistemas mecánicos (tratadas mediante elementos transformer y gyrator de razón variable), como el comportamiento no lineal de elementos básicos elementales (inercias, resortes y resistencias). Por último, con el fin de mostrar la efectividad de los algoritmos propuestos, se ha desarrollado un código para la simulación de sistemas dinámicos mediante la técnica del Bond-Graph en entorno Windows, que implementa las propuestas presentadas a lo largo de la Tesis y que permite tanto la modelización combinada empleando grafos, funciones variables y sentencias condicionales, como la presentación de las ecuaciones diferenciales y algebraicas finales de forma simbólica, todo ello en un entorno amigable y permitiendo postprocesar fácilmente los resultados de las simulaciones efectuadas sin necesidad de tener que realizar una compilación previa.

Autor: MARCAIDA BENGOECHEA SILVIA.
Año: 2005.
Universidad: PAÍS VASCO.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

Resumen: Esta tesis pretende ser un ejemplo de cómo la estrechísima relación que hay entre los sistemas lineales y las matrices polinomiales sirve para fecundar ambos campos. Más concretamente: 1,- Se unifican bajo el nombre de representación polinomial matricial de un sistema lineal controlable diferentes conceptos que aparecen en la literatura. 2,- Se aplican propiedades de las matrices polinomiales para asignar estructura en el infinito a un sistema en lazo abierto. 3,- Se usan las representaciones polinomiales matriciales para establecer un homeomorfismo entre los dos siguientes espacios de órbitas: el de los sistemas controlables bajo la acción de la semejanza y el de las matrices polinomiales con grado de determinante fijo por la acción del grupo de matrices unimodulares por la derecha con la topología compacto-abierta. Así, éste último espacio hereda todas las propiedades topológicas del primero, que han sido ampliamente estudiadas. 4,- Se utiliza el homeomorfismo anterior junto con resultados de perturbación de matrices y sistemas para conocer cómo cambian las estructuras finita y Wiener-Hopf de las matrices polinomiales bajo pequeñas perturbaciones. Además, también se estudia la variación de la estructura infinita al perturbar ligeramente matrices polinomiales con inversa propia utilizando los resultados de perturbación de haces de matrices ya conocidos.