INTERPOLACION APROXIMACION Y AJUSTE DE CURVAS

Autor: PALACIOS QUIÑONERO FRANCISCO.
Año: 2004.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA [www.upc.edu].
Centro de lectura: SALA D'ACTES FME.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.

Resumen: El objetivo de esta tesis es desarrollar la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios. En la interpolación algebraica de Birkhoff se determina un polinomio de grado menor que n, para ello se emplean n condiciones que fijan el valor del polinomio o sus derivadas. Los problemas clásicos de interpolación de Lagrange, Taylor, Hermite, Hermite-Sylvester y Abel-Gontcharov son casos particulares de interpolación algebraica de Birkhoff. Un espacio de polinomios lacunarios de dimensión n es el conjunto de los polinomios que pueden generarse por combinación lineal de n potencias distintas de grados, en general, no consecutivos. En particular, cuando tomamos potencias de grados 0,1,â¦,n-1, se obtiene el espacio de polinomios de grado menor que n, empleado en la interpolación algebraica clásica. En la interpolación algebraica clásica, el número de condiciones determina el espacio de interpolación. En contraste, en la interpolación mediante polinomios lacunarios las condiciones de interpolación determinan únicamente la dimensión del espacio de interpolación y pueden existir una infinidad de espacios sobre los que realizar la interpolación. Esto nos permite construir mejores estrategias de interpolación en ciertos casos, como la interpolación de funciones de gran crecimiento (interpolación de exponenciales y de ramas asintóticas). La aportación de la tesis consiste en la definición de un marco teórico adecuado para la interpolación de Birkhoff mediante polinomios lacunarios y en la extensión al nuevo marco de los principales elementos de la interpolación algebraica de Birkhoff. En concreto, se generaliza la condición de Pólya, se caracteriza la regularidad condicionada, se establecen condiciones suficientes de regularidad ordenada que extienden el teorema de Atkhison-Sharma, se extiende la descomposición normal y se establecen condiciones suficientes de singularidad en los casos indescomponibles.

Autor: RUBIO MASSEGU JOSEP.
Año: 2004.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA [www.upc.edu].
Centro de lectura: Sala d'Actes de l'EUPM.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.

Resumen: Alguns problemes clàssics sobre teoria analítica de polinomis estan relacionats amb un problema més general: determinar com estan ordenades les arrels reals d'un polinomi a coeficients reals i les arrels reals de totes les seves derivades. Si ens restringim a l'ordenació entre arrels de derivades consecutives d'un polinomi, aquest problema pot formular-se de la següent manera. Sigui n un nombre natural no nul. Per a cada j=0,1,â¦,n-1 considerem variables indeterminades xj,1,xj,2,...,xj,m(j), que anomenarem variables de derivació j, i que considerarem lligades per les desigualtats xj,1<xj,2<···<xj,m(j).Definir un ordre entre variables de derivacions consecutives significaespecificar, per a dues variables qualssevol de derivacions consecutives,diguem xj,k i xj+1,s, una de les tres ordenacions següents: (i) xj,k<xj+1,s,(ii) xj,k=xj+1,s, o (iii) xj,k>xj+1,s. Llavors, el problema consisteix en determinar per a quines ordenacions entre variables de derivacions consecutives existeix un polinomi P(x), de grau n, de manera que si les arrels reals de cada derivada P(j), 0jn-1, s¾n els nombres yj,1<yj,2<···<yj,r(j),aleshores r(j)=m(j) i entre arrels de derivades consecutives es verifiquenels lligams proposats. És a dir, si (i) xj,k<xj+1,s, (ii) xj,k=xj+1,s,o (iii) xj,k>xj+1,s, aleshores s'ha de complir (a) yj,k<yj+1,s, (b) yj,k=yj+1,s,o (c) yj,k>yj+1,s respectivament. Si tal polinomi existeix aleshores es diu que l'ordenació proposada és representable per un polinomi. El teorema de Rolle imposa restriccions a l'ordenació de les variables en el cas que aquesta ordenació sigui representable per polinomis. Concretament,

Autor: GODÉS BLANCO CARMEN.
Año: 2005.
Universidad: ZARAGOZA [www.unizar.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: La Caracterización Geométrica fue propuesta por Chung y Yao en 1977. Esta se introdujo con el objeto de caracterizar los conjuntos de nodos del espacio k-dimensional cuyo problema deinterpolación de Lagrange asociado es unisolvente y sus respectivos polinomios de Lagrange pueden expresarse como producto de factores lineales. En el plano, un conjunto X de (n+2)(n+l)/2 nodos verifica la Caracterización Geométrica de orden n(GCn) si, para cada x E X, existen n rectas que contienen a todos los puntos de X{x} y no a x. Los retículos principales son un ejemplo clásico de conjunto GCn. En 1982, Gasca y Maeztu conjeturaron que en cualquier conjunto GCn, existe al menos una recta con n + 1 nodos. Hasta el momento, esta conjetura ha sido probada únicamente para n = 4. Con el fin de clasificar los conjuntos GCn, Carnicer y Gasea introdujeron, en un artículo del año 2001, el concepto de defecto. Concretamente, decimos que un conjunto GCn, tiene defecto d si contiene exactamente n + 2 - d rectas de n + 1 nodos. Estos autores, describieron los conjuntos con defectos 0,1 y 2 y caracterizaron los conjuntos GC4 con defecto 3. También demostraron que el defecto máximo que puede alcanzarse es d = n - 1, suponiendo que la conjetura de Gasea y Maeztu es cierta. Con estos resultados se abordó la descripción y completa clasificación de los GCn para n = 4. En este trabajo, usando como hipótesis la conjetura de Gasea y Maeztu, se han descrito y clasificado todos los conjuntos de nodos del plano que verifican la Caracterización Geométrica GCn, para cualquier n. Como criterio de clasificación se ha usado el defecto de una configuración de nodos. Dentro de este contexto, la primera contribución de importancia es la caracterización de los CCn con defecto 3 para n > 4. Estos conjuntos contienen un subconjunto GC4 con defecto 3 que se relaciona de una cierta forma con el resto de las rectas del retículo. Para obtener la descripción general de los conjuntos CCn con defecto n - 1, ha sido necesario introducir una generalización de los retículos principales. Nuestro segundo resultado de interés de muestra que los GCn con defecto n-1 equivalen a tales retículos principales generalizados (GPLn). Más aún, se muestra que las rectas que forman un GPLn, están contenidas en un haz cúbico, único si n = 4. Nuestra clasificación concluye con la demostración de la imposibilidad, de existencia de conjuntos GCn con defectos comprendidos entre 4 y n - 2 para n > 5. Este resultado ha sido de vital importancia para alcanzar nuestro objetivo. Finalmente, también pueden encontrarse algunos experimentos numéricos, en relación con los resultados obtenidos. Estos han sido realizados con la ayuda de un manipulador simbólico.