ALGEBRAS Y ESPACIOS DE BANACH

Autor: ROMERO MARTÍN RAÚL.
Año: 2004.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID [www.ucm.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CC. MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CC. MATEMÁTICAS.

Resumen: En esta memoria, se estudian métodos de interpolación para más de dos espacios de banach prestando atención especial a la interpolación de espacios de orlicz con pesos para ello se dan extensiones del método de Gustavsson-Peetre al caso de familias finitas de espacios de banach. Otra parte de la memoria está dedicada al estudio de la interpolación de la compacidad, estableciendo los mejores resultados posibles de tipo Lions-Peetre para familias finitas de espacios de Banach.Se estudia también la validez de los resultados cuando se trabaja con otros ideales de operadores distintos del ideal de los operadores compactos.

Autor: YÁÑEZ MURILLO DIEGO FRANCISCO.
Año: 2004.
Universidad: EXTREMADURA [www.unex.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Se obtiene una nueva caracterización "bidimensional, real e isométrica" de los espacios prehilbertianos; estos es, de los espacios normados cuya norma está inducida por un producto escalar; en la línea de las que parecen en la obra de D.Amir; "Characterizations of inner producto spaces", Birkauser Verlag, Basel, 1986; del tipo de la "Igualdad del paralelogramo" o del "Teorema de Brunn, Blaschke y Kakutani". Más concretamente, fijado un número real r (o menor r menor1), se prueba que un espacio normado X (real o complejo), con esfera unidad S, es prehilbertiano si y sólo si. Se estudian también aplicaciones de esta nueva caracterización de espacios prehilbertianos: una, consistente en, haciendo uso de la nueva caracterización antes indicada, obtener otra nueva caracterización de los espacios prehilbertianos usando medianas de Fermat-Torricelli de tres puntos, en relación con el problema clásico de las medianas de Fermat-Torricelli (S XVII); otra, consistente en debilitar las hipótesis de un resultado clásico de Gurarii y Sozonov (1968) relativo a caracterización de espacios prehilbertianos.

Autor: Rodríguez Ruiz José.
Año: 2005.
Universidad: MURCIA [www.um.es].
Centro de lectura: Facultad de Matemáticas.
Centro de realización: Facultad de Matemáticas.

Resumen: Esta tesis doctoral se enmarca dentro de la teoría de integración de funciones con valores en espacios de Banach. La memoria consta de una introducción y cinco capítulos, el primero de ellos de carácter auxiliar. En el Capítulo 2 estudiamos la integral de Birkhoff de funciones definidas en un espacio de probabilidad con valores en un espacio de Banach. Caracterizamos completamente la integrabilidad Birkhoff de una función vectorial en términos de la familia de funciones reales formada por las composiciones de la función con los elementos de la bola dual del espacio. En este sentido, la noción que aparece asociada a la integrabilidad Birkhoff es la llamada propiedad de Bourgain de una familia de funciones reales. Como aplicación, reemplazamos integrabilidad Pettis por integrabilidad Birkhoff en la caracterización bien conocida de los espacios de Banach sin copias de l1 como aquellos espacios cuyo dual tiene la propiedad débil de Radon-Nikodym. En particular, esto nos permite resolver, en el caso de espacios duales, un problema propuesto por Fremlin relativo a la representación de medidas vectoriales como integrales indefinidas de funciones integrables McShane. En el Capítulo 3 consideramos distintas teorías de integración de funciones vectoriales respecto de medidas vectoriales, entre ellas la S*-integral de Dobrakov (que resulta ser la extensión de la integral de Birkhoff a este contexto) y la generalización natural de la integral de McShane. Nuestro principal teorema asegura que toda función S*-integrable es integrable McShane; el recíproco es válido para funciones fuertemente medibles. Probamos que tanto las funciones S*-integrables como las integrables McShane se pueden aproximar arbitrariamente por funciones simples en la norma dada por la semivariación de la integral indefinida. En el Capítulo 4 estudiamos y comparamos varios métodos de integración (Debreu, Birkhoff y Pettis) de multi-funciones definidas en un espacio de probabilidad con valores en la familia de todos los subconjuntos (no vacíos) convexos y débilmente compactos de un espacio de Banach separable. Por ejemplo, probamos que la noción de integrabilidad Birkhoff es intermedia (estrictamente) entre las otras dos. Para terminar, en el Capítulo 5 relacionamos la integración vectorial con la teoría de los operadores absolutamente sumantes, estudiando en qué medida la composición con un tal operador mejora las propiedades de integrabilidad de una función vectorial.

Autor: Avilés López Antonio.
Año: 2005.
Universidad: MURCIA [www.um.es].
Centro de lectura: Facultad de Matemáticas.
Centro de realización: Facultad de Matemáticas.

Resumen: La tesis consta de cuatro capitulos. El primero de ellos está dedicado a los compactos de Eberlein uniformes, es decir subconjuntos débil compactos de espacios de Hilbert. Se prueba que la bola de un espacio de Hilbert en la topología débil es imagen continua de un producto numerable de compactificaciones por un punto de conjuntos discretos, lo que combinado con resultados de Murray Bell implica que el retículo de abiertos de dicha bola cumple diversas propiedades de tipo Ramsey. Se construye además un norma en el espacio de Hilbert no separable diferente de la norma hilbertiana pero equivalente a ella cuya bola en la topología débil no verica estas propiedades de Ramsey y por tanto no es homeomorfo a la bola en la norma hilbertiana. Otro ejemplo de compacto de Eberlein uniforme es la familia compacta de los subconjuntos de cardinalidad menor que natural n de un conjunto dado, así como los espacios que se expresan como productos numerables de este tipo de compactos. Se estudia también en el primer capítulo la clasificación topológica y la clasificación de los espacios de C(K) de compactos K que son productos numerables como los anteriormente descritos. En el segundo capítulo, se estudia en el invariante cardinal de un espacio de Banach dado por el menor número de subconjuntos débil compactos necesarios para generar el espacio. Se estudia la relación de este invariante con otros como el número de Lindelof o los índices de K-analiticidad y K-determinación, demostrándose entre otros resultados que existen espacios de Banach débilmente Lindelof determinados generados por un número arbitrariamente alto de débil compactos, mientras que todo espacio débilmente numerablemente determinado está generado por un continuo de débil compactos. También se estudia la relación entre el número de débil compactos que generan un espacio y sus subespacios, y la relación con el carácter de densidad. A modo de ejemplo, un subespacio de un espacio débilmente compactamente generado está generado siempre por d débil compactos, y si este subespacio tiene carácter de densidad menor que b, entonces es también débilmente compactamente generado. En el capítulo 3 se consideran espacios de Banach Asplund generados y compactos de Radon-Nikodym, introduciéndose generalizaciones en términos de cardinales invariantes semejantes a los del capítulo anterior. Destacan los avances en cuanto al problema de la imagen continua de los compactos de Radon-Nikodym. Se prueba que diferentes superclases de esta clase de compactos definidas por varios autores son todas iguales a los llamados compactos de casi Radon-Nikodym. Se demuestra que un compacto de casi Radon-Nikodym que sea totalmente ordenado o que tenga peso menor que b es un compacto de Radon-Nikodym. Finalmente, el último capítulo trata sobre propiedades de renormamiento. Se usan los espacios de James JT sobre diferentes tipos de árboles T para dar ejemplos de espacios de Banach que no contienen a l1 pero cuyo dual no admite normas equivalentes estrictamente convexas o de Kadec. Se da una caracterización completa de los árboles T para los que JT es débilmente compactamente generado y su dual tiene norma Kadec (o LUR) así como un ejemplo de espacio JT débilmente Lindelof determinado cuyo dual carece tanto de norma Kadec como de norma estrictamente convexa.