ALGEBRA DE OPERADORES

Autor: TOMEO PERUCHA VENANCIO.
Año: 2003.
Universidad: POLITÉCNICA DE MADRID [www.upm.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE INFORMÁTICA.
Centro de realización: FACULTAD DE INFORMATICA.

Resumen: El mapa auto-organizativo (MAO) es un tipo de red neuronal artificial competitiva y no-supervisada. Ha sido utilizado tradicionalmente en tareas de ingeniería como herramienta de clasificación automática (clustering) y especialmente en tareas relacionadas con el análisis exploratorio de datos y la minería de datos, ya que su propósito principal es la visualización de relaciones no-lineales de datos multidimensionales. Sin embargo, a pesar de la importancia de la tarea de visualización, las técnicas gráficas para analizar MAO no son abundantes en la literatura. Esta tesis presenta varias técnicas nuevas que complementan, mejoran y facilitan el análisis visual de MAO de Kohonen, tanto desde el punto de vista del análisis exploratorio de datos, como desde el punto de vista de comprender el proceso de adaptación del MAO a una distribución de datos. La motivación para desarrollar técnicas de visualización nuevas surge por los siguientes motivos: la relativa carencia de métodos destinados a la importante tarea de visualización, la necesidad de analizar MAO con diferentes métodos, la necesidad de mejorar varios métodos descritos en la literatura y la posibilidad de innovar desarrollando nuevas estrategias de visualización. De esta menera, se ha hecho hincapié en desarrollar técnicas generalmente no utilizadas con anterioridad en un intento por superar limitaciones de varios métodos descritos en la literatura. El primer nuveo método denominado "método de semejanza de triángulos" consiste en una estrategia de interpolación geométrica donde los patrones de una distribución de entrada son proyectados a un espacio de observación continuo. Esta basado en la preservación de la semejanza geométrica entre varios triángulos formados por un patrón y dos vectores de referencia del MAO en el espacio de los datos, y por un punto candidato y las dos correspondientes neuronas en el espacio de observación. El método encuentra la proyección minimizando una función de coste que mide distancias o errores entre varios triángulos. El método supera notablemente a otras estrategias de interpolación descritas en la literatura. Puede proyectar todos los datos de manera no-lineal, resulta adecuado cuando el tamaño del MAO es pequeño, es robusto y puede describir adecuadamente ciertos tipos de distribuciones difíciles de visualizar con la mayoría de métodos de visualización. Varios métodos de visualización de MAO generan imágenes monocromáticas las cuales son analizadas individualmente y aportan información específica sobre los datos. Se propone una estrategia para facilitar la labor del analista a la hora de combinar la información de varios métodos mediante una simple superposición de imágenes basada en un modelo aditivo de colores. Las imágenes son definidas con colores diferentes y combinadas mediante una simple suma de sus componentes de color. Las imágenes resultantes son más completas y robustas, especialmente cuando las imágenes a combinar aportan el mismo tipo de información. El estudio llevado a cabo se centra principalmente en la combinación de matrices de distancias con histogramas de datos. Una alternativa a las matrices de distancias, que generan imágenes monocromáticas y son los métodos más populares para visualizar la estructura de clusters de los datos, consiste en emplear estrategias que ilustren los diferentes clusters mediante colores diferentes. Una de estas estrategias consiste en utilizar modelos de contracción de neuronas. Se presenta una eficiente método de contraccióhn, el "algoritmo de agrupación de neuronas", cuya estructura y filosofía es similar a la hdel algoritmo de entrenamiento de los MAO, donde los conceptos han sido invertidos para actualizar las posiciones de las neuronas en un mapa continuo en vez de los propios vectores de referencia del MAO. De esta menera, las neuronas son atraídas en el mapa en función de la distancia entre sus vectores de referencia en el espacio de los datos. Su principal ventaja es su bajo coste computacional que lo habilita para analizar MAO de tamaño elevado. Finalmente, el trabajo propone una técni 8 ca alter 465 nativa basada en la visualización explícita en el mapa o espacio de observación de grafos que unen neuronas cuyos vectores de referencia se hallan próximos en el espacio de los datos, como son el árbol generador mínimo o el "grafo Hebbiano" creado con el principio de aprendizaje Hebbiano competitivo. Las imágenes resultantes ayudan a analizar la dimensión intrínseca de los datos en cada zona del mapa y aportan una medida visual e intuitiva de la preservación de la topología del MAO.

Autor: FERNÁNDEZ POLO FRANCISCO JOSÉ.
Año: 2003.
Universidad: GRANADA [www.ugr.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: El propósito de esta memoria consiste en contribuir al desarrollo y conocimiento de una clase particular de espacios de Banach que reciben el nombre de JB* -triples complejos o reales. El hilo conductor es el estudio de propiedades geométricas de dichos espacios con el objetivo de mostrar la relación existente entre tales propiedades y propiedades algebraicas inherentes a los mencionados espacios. Los JB* -triples complejos son espacios de Banach complejos con un producto triple que satisfacen ciertas condiciones sobre la norma. Estas estructuras, introducidas por Kaup en 1983, generalizan, entre otras, a las clásicas C* -álgebras y JB* -álgebras. Los JB* -triples reales fueron introducidos por Isidro, Kaup y Rodríguez en 1995 y no son otra cosa que subriples reales cerrados de JB* -triples complejos. El trabajo desarrollado en la presente memoria esta estructurado en cuatro capítulos. El primero es un obligado capítulo introductorio donde se introducen los hechos básicos de la teoría delos JB* -triples complejos y reales, mostrando además una amplia cantidad de ejemplos. Entre dichos ejemplos, se presta una especial atención a los conocidos como factores de Cartan complejos y reales. El segundo capítulo esta dedicado al conocimiento profundo de los elementos tripotentes (elementos que coinciden con su producto riple) en factores de Cartan complejos y reales. Este estudio nos permite reencontrar que los factores de Cartan complejos están generados por parrillas, familias de tripotentes que satisfacen ciertas propiedades algebraicas. Por otro lado probamos que la gran mayoría de los factores de Cartan reales están generados por parrillas cuyos elementos satisfacen unas adecuadas propiedades algebracias. El tercer capítulo está dividido en dos secciones. En la primera sección obtenemos una caracterización geométrica de los tripotentes de un JB* -triple real o complejo únicamente en términos de la norma del espacio de Banach subyacente. La segunda sección está dedicada a enteramente al Teorema de Banach-Stone para JB* -triples. En primer lugar usamos la caracterización antes citada para obtener una fácil demostración alternativa del Teorema de Banach-Stone para JB* -triples complejos, el cual afirma que las isometrías lineales sobreyectivas entre JB* -triples complejos son isomorfismos. También obtenemos, entre otros, un Teorema de Tipo Banachs-Stone para factores de Cartan reales, resultado que responde a un problema abierto establecido en 1997 por el profesor Kaup, y un Teorema de Banach-Stone para JB* -triples reales. Resultado que afirma que las isometrías lineales sobreyectivas entre dos JB* -triples reales tales que el bidual del primero de ellos no contiene factores de Cartan reales o complejos de rango uno son isomorfismos de tirples. En el cuarto Capítulo obtenemos una extensión del clásico Teorema de Lusin de Teoría de la medida al más general ambiente de los JB* -triples reales y complejos. Para obtener dicho resultado hemos necesitado realizar un profundo estudio de la geometría de los subespacios de Peirce asociados a un tirpotente lo que nos ha permitido obtener una desigualdad geométrica novedosa incluso en el ambiente de las JB* -álgebras. También nos ha sido preciso obtener un Teorema de Egoroff para JB* -triples complejos y reales.