ANALISIS ARMONICO

Autor: INFANTE LINARES ADRIAN RAMON.
Año: 2004.
Universidad: AUTÓNOMA DE MADRID [www.uam.es].
Centro de lectura: UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID.
Centro de realización: AUTONOMA DE MADRID.

Resumen: Uno de los grandes logros del Análisis Armónico en el pasado siglo, fue la introducción de la función maximal de Hardy-Littlewood que permitió esclarecer determinados fenómenos de convergencia, entre ellos el Teorema de diferenciación de Lebesgue. Su importancia fue aún más relevante con el desarrollo de la teoría de integrales singulares de Calderón y Zygmund, puesto que aquel operadorb controla en cierta forma las singularidades de éstas. Desde entonces, ha habido un notable interés en conocer en qué otras formas y contextos es posible definir este operador maximal manteniendo sus propiedades de regularidad y acotación, por ejemplo sustituyendo las bolas Euclídeas por otros cuerpos geométricos o cambiando la medida subyacente de Lebesgue por otras medidas anisotrópicas. El objetivo de la tesis es el de profundizar en el estudio del siguiente problema: Determinar condiciones bajo las cuales el operador maximal de Hardy-Littlewood asociado a una medida de Borel , es un operador acotado sobre el espacio de Lebesgue o en algún espacio de Orlicz. La respuesta a esta pregunta en el espacio Euclídeo unidimensional es fácil de encontrar utilizando un sencillo lema geomérico de recubrimiento. En este caso se deduce que el operador maximal asociado a cualquier medida, es de tipo débil (1,1). En dimensión mayor, el mismo resultado es cierto si suponemos que la medida es doblante, porque en este caso se puede utilizar el lema de Vitali. También se conocen resultados en el otro sentido. El ejemplo de P. Sjögren demuestra que el operador maximal asociado a la medida Gaussiana, una medida radial que es claramente no doblante, no es de tipo débil (1,1). Este resultado fue generalizado por A. Vargas en donde presenta condiciones que caracterizan las medidas invariantes porrotaciones con soporte en todo el espacio, de modo que el operador maximal asociado a esta medida sea de tipo débil (1,1). Sededuce de este trabajo que estas medidas son precisamente aquellas que son doblantes "lejos" del origen. Posteriormente, Forzani, Scotto, Sjögren y Urbina demuestran que el operador maximal asociado a la medida Gaussiana es de tipo fuerte (p,p), si p>1. Recientemente P. Sjögren y F. Soria investigaron las propiedades de integrabilidad del operador maximal asociado con cierto tipo de medidas no doblantes radiales y decrecientes entre las que se encuentra la Gaussiana y demostraron que dicho operador es de tipo fuerte (p,p), p>1. El resultado se obtiene de hecho demostrando que estos operadores satisfacen cierta desigualdad modular descrita en la Sección 1.2.5) sobre un espacio de Orlicz cercano a L1. La idea de la prueba es sustituir las bolas por otras figuras geométricas de medidas comparables y cuyo operador maximal asociado tiene una descripción simple. Este resultado es el punto de partida del presente trabajo. Con el fin de motivar el contenido de esta memoria, dedicamos el Capítulo 1 a describir algunos de estos resultados conocidos. Comenzamos éste capítulo mencionando algunos de los resultados que se pueden obtener a partir de lemas geométricos de recubrimiento y luego se considera el operador maximal asociado a medidas de Borel radiales definidas sobre bolas donde las técnicas de recubrimiento no son válidas y en las que veremos juega un papel esencial la geométria de la medida. La propiedad doblante, o cómo degenera ésta, es fundamental para conseguir esta propiedad, tal como veremos en la sección 1.2.5, donde exponemos los resultados obtenidos por P. Sjögren y F. Soria. Como complemento a estos resultados, se presenta en este capítulo un contraejemplo que demuestra la necesidad de las condiciones impuestas a las medidas consideradas en el teorema de P. Sjögren y F. Soria. Inspirados en las técnicas introducidas por P. Sjögren y F. Soria, y para estudiar las extensiones naturales de estosresultados, se presenta en el Capítulo 2 un estudio del operador maximal asociado a cierta clase de medidas radiales y crecientes. Demostramos en este caso que también se verifica el mismo tipo de desigualdad modular. De este resultado se puede deducir la acotación de tipo fuerte (p,p), para todo p&g 8 t;1. Res 849 ulta natural estudiar a continuación el operador maximal definido con cubos y asociado a una clase de medidas radiales y decrecientes. Extendemos estos estudios para cubos cuyos lados no son paralelos a los ejes. En este caso tambiénse deduce que el operador maximal asociado es de tipo fuerte (p,p), p>1. Para esto comparamos la medida del cubo con la del menor cono que lo contenga. Este proceso nos sugiere estudiar al operador maximal definido con conos regulares y exteriores. Estas definiciones y resultados son expuestos en el Capítulo 3. Una parte importante de la memoria estádedicada al cálculo explícito de la medida de las figuras geoméricas utilizadas para definir los operadores maximales bajo estudio, conos, cubos, bolas, hiperplanos, etc. Sin ánimo de minimizar las complicaciones ténicas que a ello da lugar, hemos preferido ser exhaustivos a la hora de presentar estos cálculos para facilitar la tarea del lector, a riesgo de parecer reiterativos. El Capítulo 4 está dedicado a otro tipo de problema relacionado con el tamaño de las constantes que aparecen en las desigualdades de tipo débil. Entre otros resultados probamos que el operador maximal asociado a una clase de medidas crecientes, y definido para funciones radiales, es acotado con constante independiente de la dimensión. La memoria se cierra con unos breves apéndices al objeto de incidir sobre diversos aspectos mencionados a lo largo de la misma.