ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Autor: BRAVO TRINIDAD JOSÉ LUIS.
Año: 2003.
Universidad: EXTREMADURA [www.unex.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Autor: CID ARAÚJO JOSÉ ÁNGEL.
Año: 2004.
Universidad: SANTIAGO DE COMPOSTELA [www.usc.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: Esta memoria consta de tres capítulos y un apéndice.En el primer capítulo se obtienen resultados de existencia de solución para problemas discontinuos de primer orden y también resultados de unicidad para el caso continuo.En el segundo capítulo se prueba la existencia de solución para un problema de valor inicial y la multiplicidad de soluciones de un problema de frontera periódico,ambos para ecuaciones de segundo orden con discontinuidades.En el tercer capítulo se incluyen varias contribuciones originales a la teoría de puntos fijos y se dan varias aplicaciones de estos resultados las princiupales propiedades de las funciones absolutamente continual y algunos teoremas de punto fijo para operadores crecientes discontinuos que son fundamentales para los resultados expuestos en esta memoria.

Autor: SOROLLA BARDAJÍ JORDI.
Año: 2004.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA [www.uab.es].
Centro de lectura: FACULTAT DE CIÈNCIES.
Centro de realización: ESCUELA DE POSTGRADO.

Resumen: Encontramos todos los sistemas cuadráticos (grado 2) que pueden dejar invariante una curva de grado menor o igual que 4 contenga un óvalo que sea, a su vez, cilclo límite del sistema. Primero hacemos un estudio de las posibles curvas en función de sus puntos de autoinsercción (puntos múltiples). Luego, llegamos a una aproximación de la forma de la curva a partir de ciertas propiedades de los índices de intersección en los puntos singulares y su localización. Finalmente, comprobamos si puede ser invariante por un sistema cuadrático y acabamos de ajustar los parámetros que quedan libres. También estudiamos los ciclos límite desde el punto de vista de los sistemas en lugar de desde las curvas invariantes. Así, tomamos los sistemas cuadráticos que pueden tener ciclos límite, concretamente la clasificación china (familias I, II y III). Para la familia I buscamos curvas invariantes e inversos de factor integrante: para las familias II y III buscamos inversos de integrante. Acabamos demostrando que la familia I no tiene ciclos límites algebracios. Finalmente, estudiamos la coexistencia de dos ciclos límites algebraicos, que pertenezcan a curvas invariantes irreducibles diferentes, en un sistema cuadrático. Se demuestra que estos ciclos límite deberán estar contenidos uno en el interior del otro. La demostración pasa por ver que si estos ciclos defnieran regiones que no se intersecasen, entonces estudiando los valores del cofactor en los puntos singulares vemos que se podría construir un inverso de factor integrante polinomial que sería el producto de las dos curvas y que daría lugar a una integral primera de tipo Darboux, lo cual lleva a una contradicción.

Autor: PASCUAL LERÍA ANA ISABEL.
Año: 2004.
Universidad: LA RIOJA [www.unirioja.es].
Centro de lectura: UNIVERSIDAD DE LA RIOJA.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE LA RIOJA.

Resumen: La cuestión de la estabilidad de sistemas hamiltonianos es una pieza fundamental en el estudio de algunos problemas de diversas ramas científicas, como por ejemplo, de Mecánica Clásica, Mecánica Celeste, Física Atómica, etc. Además, es un tema de gran interés matemático. No obstante, el problema es difícil de abordar incluso para sistemas de dos grados de libertad donde, a pesar de ser el caso más simple y donde más estudios hay realizados, todavía quedan situaciones especiales sin resolver. Pese a la existencia de numerosos problemas de aplicación y de resultados para algunos casos particulares, hasta 1999 no se enuncia ningún teorema general. En esta fecha, Cabral y Meyer establecen un criterio para resolver la estabilidad de un sistema hamiltoniano de dos grados de libertad en presencia de resonancias que engloba a la mayoría de los resultados clásicos. La principal aportación de esta tesis es la obtención de un teorema que considera hipótesis más débiles que las del teorema de Cabral y Meyer, de modo que lo generaliza y permite resolver la cuestión de la estabilidad en condiciones más generales. Además, damos una interpretación geométrica de este resultado, estableciendo así un criterio geométrico. A partir de este criterio es posible obtener nuevos resultados de estabilidad para algunos casos que el teorema de Cabral y Meyer no resuelve, denominados casos degenerados. El proceso para extraer dichas conclusiones es complicado y exige la utilización de un modelo más sencillo, la forma normal del hamiltoniano. Esto supone aplicar técnicas de normalización que nosotros hemos llevado a cabo con un conjunto determinado de variables, las variables de Lissajous. En este sentido, otra aportación es una caracterización compacta de la forma normal en términos de unas variables, llamadas invariantes, ligadas a las variables de Lissajous. Además del estudio de la estabilidad es importante la caracterización del flujo fásico, pues la existencia de equilibrios relativos está asociada a la presencia de familias de órbitas periódicas. Estas familias son de gran interés, sobre todo en ciertos problemas de Mecánica Celeste. Este tema es también objeto de estudio en esta tesis y, en concreto, se estudia lo que sucede en el caso de una resonancia de orden 4, caracterizando los distintos tipos de flujo fásico. Estos vienen determinados por los equilibrios relativos y las bifurcaciones paramétricas entre ellos, cuyo cálculo está relacionado con el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo cerrado.

Autor: GARCÍA QUESADA JESÚS.
Año: 2005.
Universidad: LAS PALMAS DE GRAN CANARIA [www.ulpgc.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE INFORMÁTICA.
Centro de realización: FACULTAD DE INFORMÁTICA.

Resumen: Esta tesis contiene resultados sobre la conducta dinámica de cinco modelos matemáticos de complejidad creciente sobre calidad ambiental de asentamientos urbanos. Los modelos fueron propuestos en [1] y en el presente trabajo se completan los estudios sobre bifurcaciones que se iniciaron en dicha publicación. En el capítulo 1 se relacionan algunos resultados fundamentales de la teoría de sistemas dinámicos y se ven algunos métodos de simplificación de estudio de dichos sistemas. En el siguientes capítulo sobre los modelos se presentan los diferentes modelos y se estudia la dinámica que presentan los cuatro modelos planares introducidos en [1], dando los diagramas de bifurcación donde son necesarios. En la mayoría de los casos es suficiente el estudio analítico, que permite precisar el comportamiento que presentan. En el capítulo 3, se estudia detalladamente el quinto modelo. En este modelo tridimensional las variables de estado representan la calidad, población y mala calidad respectivamente. Consiste en tres ecuaciones diferenciales acopladas. Para cada uno de los parámetros del modelo, se establece un rango de valores numéricos "razonables". Estos rangos forman la base de los estudios numéricos. Se obtienen los puntos singulares y se hace un estudio de su estabilidad. A continuación se estudian las bifurcaciones uniparamétricas y las de ciclos límites resultantes de la bifurcación de Hopf, para posteriormente obtener el comportamiento del sistema respecto al resto de parámetros no vistos hasta el momento. Después de estudiar las bifurcaciones biparamétricas se obtiene el diagrama de bifurcaciones completo respecto al plano de parámetros elegido.

Autor: Alvarez Torres María Jesús.
Año: 2005.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA [www.uab.es].
Centro de lectura: Dpt.de Matemàtiques.
Centro de realización: Departament de Matemàtiques (Universitat Autònoma de Barcelona).

Resumen: En esta tesis estudiamos sistemas de ecuaciones diferenciales en el plano. Trabajamos dos de las soluciones singulares que tienen estos sistemas dinámicos: puntos críticos y órbitas periódicas. Respecto apuntos críticos, nos centramos principalmente en los nilpotentes y estudiamos el problema centro-foco. Respecto a órbitas periódicas, trabajamos con ecuaciones de Abel y otros sistemas en el cilindro. Para ellos damos diferentes criterios para acotar el número de órbitas periódicas que pueden tener este tipo de sisitemas y también obtenemos cotas inferiores para este número de órbitas periódicas.

Autor: FERRAGUT I AMENGUAL ANTONI MANEL.
Año: 2005.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA [www.uab.es].
Centro de lectura: FACULTAT DE CIÈNCIES.
Centro de realización: DEPARTAMENT DE MATEMÁTIQUES, UNIVERSITAT AUTÓNOMA DE BARCELONA.