ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Autor: ESTELA CARBONELL M. ROSA.
Año: 2005.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA [www.upc.edu].
Centro de lectura: ETSECCPB, Edifici C2, Campus Nord.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.

Resumen: En esta tesis se presentan aplicaciones del Análisis Intervalar Modal al estudio de problemas diferenciales aplicados básicamente a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería, precedidos de una sucinta revisión de la teoría básica del sistema de intervalos modales y un estudio exhaustivo de la optimalidad parcial de las funciones racionales, incorporando los conceptos de optimalidad equivalente y optimalidad condicionada, que representan una ampliación a la teoría del Análisis Intervalar Modal ya existente. Definiremos los intervalos identificándolos con el conjunto de predicados que aceptan o rechazan predicados sobre la recta real, hecho desde luego, que permite corregir deficiencias estructurales y semánticas del Análisis Intervalar Clásico, pero que sobretodo funda la teoría intervalar en la función básica de los intervalos como referencias al sistema de los números reales compatibles con la inevitable necesidad de truncación que acompaña a cualquier valor numérico experimental. Revisada la teoría básica del análisis intervalar modal, nos proponemos aplicarla a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería. Así, al plantearnos la resolución de problemas incluso elementales, como el de propagación del calor en una dimensión, nos encontramos con problemas de planteo en la aplicación de la teoría intervalar debido a las restricciones que impone la posibilidad de cálculos optimales. Esta situación lleva al estudio de la optimalidad condicionada que se ha presentado en el tercer capítulo de la tesis. Admitiendo restricciones sobre las modalidades de los argumentos de las funciones racionales se obtienen conceptos nuevos como el de modalidad partida o el de optimalidad lateral, que finalmente permiten introducir el concepto de función racional sintácticamente c-conmutativa, que permite obtener un conjunto más amplio de funciones a las que se les puede asociar un cálculo optimal. Sobre el conjunto de los intervalos podemos definir diversos sistemas de operaciones obteniendo por ejemplo el sistema de los intervalos modales dotados de su aritmética fundamental o bien dotados de una aritmética lineal o paralela. Esta última aritmética se introduce en el cuarto capítulo de la tesis. Desde el punto de vista del análisis intervalar modal hemos estudiado ecuaciones en diferencias definidas como solución numérica a ecuaciones diferenciales. El modelo intervalar y los métodos de cálculo numérico son objetivamente distintos: mientras que el cálculo numérico calcula trayectorias singulares aproximadas, el cálculo intervalar calcula haces de trayectorias asociadas a una estrategia determinada por las modalidades de los intervalos. Además, el cálculo intervalar está basado en la inclusividad de las soluciones intervalares y por ello da lugar esencialmente a modelos exactos desde el punto de vista de las semánticas asociadas a la inclusión; frente al caso del cálculo numérico que se apoya esencialmente en el concepto de aproximación. Una propiedad estructuralmente básica del Análisis intervalar es que no es adecuado aprovechar los algoritmos de los métodos numéricos clásicos como algoritmos intervalares, puesto que la estructura intervalar es esencialmente âmayor" que la de los números reales y por lo tanto debemos plantear cada problema intervalar siempre ab initio, en el interior del propio contexto intervalar. Fundamentalmente esto está determinado por el hecho de que no tiene sentido plantear las relaciones de inclusividad en el conjunto de los números reales, por reducirse a la identidad, y no tiene sentido prescindir de ellas en el 8 context 3e8 o intervalar. Los capítulos 5, 6, y 7 estudian distintos problemas que plantean las ecuaciones en diferencias intervalares, distinguiendo las situaciones que necesitan un contexto lineal y en consecuencia el soporte aritmético de los intervalos de marcas. Se han estudiado también problemas de contorno que se plantean en el cálculo numérico clásico.