ECUACIONES FUNCIONALES

Autor: RODRÍGUEZ LÓPEZ ROSANA.
Año: 2004.
Universidad: SANTIAGO DE COMPOSTELA [www.usc.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DEM ATEMÁTICAS. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA.

Resumen: Las ecuaciones diferenciales han sido usadas para modelizar los mecanismos de evolución de muchos procesos dinámicos importantes en diversos campos de aplicación. Sin embargo, para muchos fenómenos reales, la obtención de un modelo adecuado requiere tener en cuenta los estados pesados del sistema, dando lugar a las ecuaciones diferenciales funcionales. Éstas proporcionan un modelo matemático para sistemas reales en los que la razón de cambio pueden depender de la influencia de sus estados anteriores y que conducen a diversos tipos de ecuaciones que incluyen las ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales con retardo, ecuaciones funcionales con máximo, ecuaciones integro-diferenciales, etc. El fenómeno del retardo está presente en multitud de campos como mecánica, teoría de control, física, química, ingeniería, biología, medicina, economía, o teoría de la información. Entre las cuestiones más destacadas en la teoría y aplicación de ecuaciones diferenciales funcionales figuran los problemas de frontera y la búsqueda de soluciones periódicas. Muchos procesos de evolución se caracterizan por el hecho de experimentar en ciertos instantes un cambio brusco debido a perturbaciones de duración muy pequeña y, por tanto, a efectos prácticos, de duración despreciables (perturbaciones instantáneas), dando lugar desde el punto de vista matemático, al concepto de impulso y a las ecuaciones con impulsos. La teoría de los sistemas diferenciales con impulsos surge como un área importante, y aún en fase de desarrollo, de investigación en la que aparecen nuevos fenómenos (confluencia de soluciones, el fenómeno impulso, pérdida de autonomía..), que no tenían cabida en la teoría correspondiente de las ecuaciones diferenciales ordinarias clásicas. En la modelización matemática de fenómenos reales nos encontramos, fundamentalmente, ante dos dificultades: la complejidad del modelo y la indeterminación debida a la propia incapacidad para diferenciar eventos de manera exacta y precisa. Es necesario, por tanto, disponer de herramientas o conceptos matemáticos para describir la incertidumbre presente en multitud de fenómenos reales: los conjuntos difusos, de gran importancia en campos como la robótica, la inteligencia artificial, o ciencias sociales. Desde el punto de vista matemático, los espacios métricos de conjuntos difusos proporcionan un marco matemático apropiados para diversas aplicaciones de los conjuntos difusos. Esta memoria se estructura en cuatro parte diferenciadas, cada una de las cuales se enmarca dentro de una siguientes temáticas: 1,- Ecuaciones diferenciales ordinarias 2,- Ecuaciones diferenciales funcionales 3,- Ecuaciones diferenciales difusas 4,- Extensión de ecuaciones diferenciales a espacios métricos generales. En primer lugar, aplicamos una generalización del Teorema de Punto Fijo a Fanach a conjuntos parcialmente ordenados, con la finalidad de obtener resultados de existencia y unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de frontera periódicas. Con relación a las ecuaciones funcionales, abordamos el estudio del problema de frontera periódico para ciertas ecuaciones funcionales y ecuaciones funcionales con impulsos de primer orden, analizando cuestiones como la existencia, unicidad, localización y aproximación de soluciones. Para esto, hacemos uso de la teoría de puntos fijos, el método de las sub y sobresolucioles y técnicas iterativas monótonas. Además, obtenemos la función de Green para la expresión de la solución del problema de frontera periódico asociado a una ecuación diferencial funcional de segundo orden, en el caso particular en el que la dependencia funcional es constante a trozos. En la tercera parte, estudiamos ecuaciones planteadas en ciertos espacios más generales, como son las ecuaciones diferenciales difusas, para las cuales resulta más complicado dar respuesta a problemas como la existe 8 ncia de 76c solución, o la acotación de dichas soluciones. De este modo, tratamos cuestiones como la existencia de solución y el cálculo de su expresión para determinados problemas lineales de primer orden, la existencia de solución para el problema de Cauchy relativo a ecuaciones difusas de orden superior, la determinación de condiciones de existencia de soluciones extremales para ecuaciones difusas cuadráticas usando teoremas de punto fijo, la acotación de las soluciones para ecuaciones diferenciales e integrales difusas, o la existencia de solución para ecuaciones funcionales difusas de tipo neutro en espacios de Banach. A modo de conclusión, dedicamos la última parte de esta memoria a definir y estudiar una posible generalización a espacios métricos abstractos de las ecuaciones diferenciales: lo que denominamos Sistemas Dinámicos Métricos. En este ámbito, desarrollamos una teoría análoga a la clásica existente para ecuaciones ordinarias, definiendo conceptos como el de primitiva para una función en un espacio métrico. Además, se prueba un resultado análogo al Teorema de Picard-Lipschitz, se dan condiciones para la existencia de soluciones aproximadas, se analiza la dependencia continua de la solución como respecto a los datos, se proporcionan resultados de comparación, se desarrollan técnicas de aproximación como el método Poligonal de Euler, .. Finalmente, extendemos a este contexto más general conceptos como el de ecuación funcional, con o sin impulsos, o el de ecuación híbrida.