SINGULARITATS EVITABLES PER A FUNCIONS QUASIREGULARS DEL PLAResumen: En aquesta tesi, estudiem problemes d'evitabilitat per a funcions quasiregulars del pla. Més concretament, ens interessem pels conjunts evitables per a les funcions quasiregulars i acotades, o de BMO, o fins i tot Hölder contínues d'exponent $sin(0,1)$. Un primer resultat remarcable és el següent, obtingut en col·laboració amb K. Astala, J. Mateu, J. Orobitg i I. Uriarte-Tuero. Teorema. Si E té mesura de Hausdorff $2/(K+1)$-dimensional $sigma$-finita, aleshores E és evitable per a les funcions K-quasiregulars i acotades del pla. En la direcció contrària, construïm conjunts no evitables amb dimensió exactament $2/(K+1)$. Respecte al problema d'evitabilitat per a funcions s-Hölder contínues, hem obtingut la següent condició suficient. Teorema. Si E té mesura de Hausdorff $2(1+sK)/(K+1)$-dimensional nul·la, aleshores E és evitable per a les funcions K-quasiregulars i s-Hölder contínues. Mostrem també que existeixen conjunts no evitables de qualsevol dimensió estrictament més gran que $2(1+sK)/(K+1)$. Per tant, aquest índex és òptim. Finalment, estudiem el problema d'evitabilitat per a funcions quasiregulars amb coeficient de Beltrami prefixat dins de l'espai de Sobolev $W(1,2)$. Per a aquestes funcions, obtenim un anàleg del Lema de Weyl. Aquest resultat, juntament amb alguns teoremes de distorsió relacionats amb conjunts rectificables, i la semiadditivitat de la capacitat analítica, ens permeten arribar al resultat següent. Teorema. Si E té longitud $sigma$-finita, i f és $mu$-quasiconforme, amb coeficient de Beltrami amb suport compacte i de classe $W(1,2)$, aleshores $gamma(E)=0$ si i només si $gamma(f(E))=0$.
