MEDIDA INTEGRACION Y AREA

Autor: CAMPO ACOSTA RICARDO DEL.
Año: 2004.
Universidad: ALMERÍA [www.ual.es].
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS EXPERIMENTALES.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS EXPERIMENTALES.

Resumen: Nuestro trabajo se enmarca en el ambiente de la Integración Finitamente Aditiva investigación. En concreto realizamos contribuciones en tres direcciones: Tras un primer capítulo con los prelimínares necesarios para poder seguir la lectura de la memoria, en primer lugar estudiamos bajo qué condiciones la integración abstracta de Riemann admite una representación integral mediante conjuntos espectrales (Cápítulo 2). En concreto probamos que, en este ambiente funcional, sigue verificándose que toda función abstracta Riemann integrable es casimedible y que las condiciones de continuidad débil son suficientes para para conseguir generalizar la fórmula dada por Topsoe para calcular la integral de una función a través de las medidas de sus conjuntos espectrales. Después examinamos la relación de la continuidad absoluta para funcíonales, en el contexto de la íntegración propia y abstracta de Riemann, con su propiedad homónima para medidas finitamente aditivas, dando resultados en ambos sentidos: para integrales que proceden de medidas y para medidas inducidas por integrales (Cápitulo 3). Además elaboramos unas novedosas técnicas de densidad secuencial que nos permiten obtener un teorema de Radon-Nikodym aproximado en este ambiente funcional (Cápitulo 4). Por último, desarrollamos una teoría de integración respecto a integrales superiores de modo que nos proporciona un ambiente general desde el que poder tratar la Teoría de la Integración Finitamente Aditiva de un modo global (Cápitulo 5). En concreto, es el nuevo concepto de bideterminación que hemos introducido el que nos ha permitido encontrar un marco conjunto desde el cual estudiar, simultáneamente, ciertos aspectos de varias teorias de integración que hasta ahora se habían tratado por separado, aunque presentaban cierto paralelismo formal.

Autor: AMARAL ABREU TERESA PAULA.
Año: 2006.
Universidad: VIGO [www.uvigo.es].
Centro de lectura: E.T.S.E. INDUSTRIALES.
Centro de realización: E.T.S.E. TELECOMUNICACIONES.

Resumen: El principal objetivo de esta tesis es la extensión del esquema de integración de Lebesgue a funciones definidas en un espacio de premedida y valoradas en un conoide quasi-uniforme y contiene, además, interesantes aportaciones a la teoría general de los espacios quasi-uniformes, la teoría de las estructuras algebraicas quasi-uniformes y la teoría de las medidas valoradas en dichas estructuras, que es necesario desarrollar, previamente, para alcanzar el mencionado objetivo. En la tesis se elige un camino muy natural para la exposición de la teoría de los espacios quasi-uniformes. Se plantea en la situación más general de las local quasi-uniformidades y no se supone conocida la teoría de los espacios uniformes, cuyos resultados se recuperan como casos particulares cuando existe simetría. Se introducen los nuevos espacios bilocal quasi-uniformes y se clarifica definitivamente el problema del ínfimo de las estructuras de tipo uniforme y de las topología inducidas por ellas, delicada cuestión que no aparece usualmente en la literatura. La tesis contiene una exposición completa de la teoría de las estructuras algebraicas quasi-uniformes que incluye los fundamentos de los conoides (monoides equipados con una multiplicación por reales no negativos) quasi-uniformes que constituyen el rango natural de las funciones medibles, las medidas y las integrales. Una contribución destacable en esta parte es la solución negativa al problema de la local quasi-uniformación de los semigrupos topológicos. En la tesis de A.Castejón (1995), también dirigida por E. Corbacho, se extendió la teoría de integración Lebesgue a funciones valoradas en conoides dotados de una métrica compatible positivamente homogénea. En esta Tesis de T.Abreu se amplía esta posibilidad al caso de los conoides quasi-uniformes. Se prueba que con la presencia de la propiedad de unicidad integral se puede desarrollar el esquema de Lebesgue incluso sin asumir la simetría. El hecho de que el hiperespacio de los subconjuntos compactos convexos de un conoide quasi-uniforme, dotado de la quasi-uniformidad de Hausdorff-Borubaki, sea, asimismo, un conoide quasi-uniforme, proporciona a esta tesis un amplio campo de aplicaciones.