TRANSFORMADAS INTEGRALES

Autor: RODRIGUEZ GERMA LUIS FRANCISCO.
Año: 2006.
Universidad: LA LAGUNA [www.ull.es].
Centro de lectura: D.A.MATEMATICO.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: El marco en el que se desarrolla la tesis es el de Calculo Fraccionario, que estudia los llamados operadores de integracisn y derivacisn de orden fraccionario. Los modelos matematicos basados en Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias, se han revelado como una buena herramienta para explicar la dinamica ansmala de numerosos procesos relacionados con sistemas complejos, en las mas diversa areas de la Ciencia y la Ingenierma. Esta memoria aporta herramientas y mitodos para obtener soluciones a algunos de esos modelos fraccionarios. En el Capmtulo 1, introducimos y estudiamos dos nuevas transformadas integrales, que llamamos fraccionarias, que son un caso particular de la H-transformacisn, que tiene como nzcleo la conocida funcisn H de Fox. En primer lugar, estudiamos la transformada integral que denominamos Transformada de Mittag-Leffler que tiene la funcisn de Mittag-Leffler como nzcleo, la cual es una funcisn que juega un papel relevante en la solucisn de muchas ecuaciones diferenciales fraccionarias. La segunda transformada integral que estudiamos, que denominamos Transformada de tipo Bessel, generaliza la conocida transformada integral de Kratzel, la cual es solucisn de cierta ecuacisn diferencial fraccionaria. Se realiza un estudio intensivo de dicha funcisn, incluido su estimacisn asintstica. En el Capmtulo 2 de la memoria presentamos una teorma que permite generalizar los clasicos nzmeros de Stirling de primera especie s(n,k), con n y k naturales, extendiendo ambos parametros al campo complejo. Para ello introducimos la definicisn de estas funciones generalizadas de Stirling basandonos en el uso de operadores fraccionarios y comprobamos que se siguen conservando las propiedades mas importantes de los nzmeros de Stirling clasicos. Esta extensisn sienta las bases para poder introducir nuevos mitodos de aproximacisn numirica de las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville y de Liouville. El Capmtulo 3 esta dedicado a las ecuaciones diferenciales fraccionarias que involucran a las derivadas de Caputo y Riemann-Liouville. En primer lugar estudiamos ecuaciones lineales fraccionarias con coeficientes constantes, tanto en el caso homogineo como en el no homogineo, y con dervadas de Caputo no secuenciales de cualquier orden positivo. A continuacisn se estudian las ecuaciones diferenciales lineales que involucran la derivada de Caputo secuencial. Para este tipo de ecuaciones se obtiene un teoria general analoga a la del caso ordinario y se estudian las soluciones explmcitas tanto en el caso de ecuaciones con coeficientes constantes como en el de coeficientes variables. Por zltimo en el Capmtulo 4 el objetivo principal es poner de manifiesto las posibilidades de simular, mediante ecuaciones diferenciales fraccionarias, la dinamica de procesos anomalos cuya representacisn analmtica venga dada por funciones contmnuas pero fuertemente no diferenciales, como es el caso de las funciones tipo Weierstrass. Esto abre la posibilidad cierta de encontrar modelos de fensmenos que es imposible simularlos mediante los modelos diferenciales tradicionales. Para ello vemos como algunas funciones de este tipo tienen derivada fraccionaria en todos los puntos de un intervalo real, por tanto estas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales fraccionarias