DOMINIOS CONVEXOS

Autor: MARTÍN JIMÉNEZ PEDRO.
Año: 2002.
Universidad: EXTREMADURA.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Los elipsoides son los únicos cuerpos convexos en los que todas las secciones planas son elipses.Asimismo, son los únicos cuerpos convexos con centro , que son simétricos respecto de todo plano que pasa por su centro.En esta memoria se debilitan las hipótesis de estas caracterizaciones restringiendo el número de secciones y simetrías. El capítulo 1 contiene las definiciones generales que se manejan a lo largo de la memoria , así como una breve reseña histórica que recoge los principales resultados relacionados con el tema . Sea B un cuerpo convexo del espacio afín E3. El capítulo 2 está dedicado a estudiar cuantos haces de planos son necesarios para que B tenga que ser un elipsoide, sabiendo que las secciones con planos de dichos haces son elipses.Se demuestra, por ejemplo , que si r y s son dos rectas paralelas, una de las cuales pasa por el interior de B , y todas las secciones con planos que contienen a r ó a s son elípticas, entonces B tiene que ser un elipsoide.Se obtienen resultados similares cuando r y s se cortan o son secantes, y cuando se consideran haces de planos paralelos.El capítulo se completa con una colección de ejemplos y contraejemplos. En el capítulo 3 se muestra que si B es simétrico respecto de tres planos y existe cierta relación entre los planos y las direcciones de simetría, entonces B tiene que ser un elipsoide.En otro apartado de este capítulo se demuestra que las relaciones que las regiones de Voronoi del plano son convexas si y solo si la distancia que las define es la euclídea. En el capítulo 4 se extiende a dimensión mayor que tres los resultados de los capítulos anteriores. La memoria finaliza con una amplia bibliografía relacionada con el tema.

Autor: MIORI CINZIA.
Año: 2006.
Universidad: ALICANTE.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE ALICANTE.

Resumen: Se estudian aquellos problemas en los que se busca una solución óptima al problema de dividir un conjunto convexo y compacto en dos subconjuntos de igual volumen (área) de modo que se optimicen algunas características geométricas delos subconjuntos dados. Hay numerosos resultados (Eggleston, Bokowski, Cianchi, â¦) si se busca minimizar el perímetro de la "cerca" que divide el conjunto dado (llamado también el perímetro relativo), y también varios problemas abiertos sobre cotas que den la mejor estimación global, alguno de ellos planteado por Santaló. En concreto se han determinado los conjuntos extremales y se ha buscado obtener cotas globales sobre la mejor subdivisión posible. Se han considerado tanto la subdivisión más simple por rectas (en el caso plano) o hiperplanos como la subdivisión más general por curvas (en el caso plano). Se han considerado también el estudio con otras magnitudes geométricas: en el caso plano se han estudiado además propiedades geométricas que relacionen las magnitudes clásicas con la longitud de la máxima y mínima cuerda que divide el conjunto dado en dos regiones de igual área. En el plan de trabajo se ha trabajado con conjuntos planos y con subdivisiones por rectas, buscando primero obtener la mejor subdivisión para ejemplos particulares de conjuntos, luego para conjuntos centralmente simétricos y finalmente para conjuntos convexos generales: se han estudiado en ese caso las propiedades goemétricas de los conjuntos obtenidos y su posible unicidad; después se han buscado las mejores cotas globales.

Autor: HERRERO PIÑEYRO PEDRO JOSÉ.
Año: 2006.
Universidad: MURCIA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: El objetivo de este trabajo ha sido el estudio del anillo mínimo de un conjunto convexo plano, así como su relación con otras magnitudes geométricas, esto da lugar a la obtención de las mejores desigualdades posibles entre las medidas consideradas. Dado un cuerpo convexo K (conjunto convexo y compacto), se define un anillo con centro c y radios r menor R como el conjunto cerrado formado por los puntos comprendidos entre las esferas (concéntricas) de centro c y radios r y R. La convexidad implica además la existencia de un único anillo con diferencia de radio R-r mínima; éste se denomina el anillo mínimo del conjunto. Siguiendo el trabajo iniciado por Bonnesen, Favard y otros, hemos estudiado, en primer lugar, las relaciones existentes entre el anillo mínimo de un cuerpo convexo plano con cada una de las seis magnitudes geométricas clásicas: el área, el perímetro, el diámetro, la anchura mínima, el circunradio y el inradio. De forma más precisa, determinamos todas las cotas posibles (superiores e inferiores) para dichas medidas cuando suponemos que el anillo mínimo está fijo. Obsérvese que si el circuncírculo y el incírculo de un cuerpo convexo K son concéntricos, desde luego éstos determinan el anillo mínimo del conjunto (como por ejemplo, en el cuadrado). Pero no siempre tiene por qué ocurrir tal cosa: de hecho, puede darse cualquiera de las otras posibilidades. Esto ha motivado nuestro interés pro estudiar la relación entre el anillo mínimo de un conjunto, su circuncírculo y su incírculo. Así, y tras demostrar diversas propiedades que relacionan estos objetos geométricos, determinamos todas las desigualdades óptimas que establecen cuáles son las figuras que maximizan o minimizan cada una de las medidas anteriores cuando su anillo mínimo y, o bien su circunradio, o bien su inradio, están fijos. Se resuelven todos los casos posibles, lo que cierra el problema totalmente.