GEOMETRIA DIFERENCIAL

Autor: FERREIRO PEREZ ROBERTO.
Año: 2003.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CC. MATEMATICAS.

Resumen: En este trabajo se interpretan las formas deferenciales de grado superior a la dimensión de la variedad base en el fibrado de jets de un fibrado como formas diferenciales en la variedad de secciones globales del fibrado, y se extiende esta interpretación al contexto de la cohomologia equivariante.Aplicando esta construccion a las formas caracteristicas equivariantes en el fibrado de conexiones se obtienen clases de cohomologia en el espacio cociente de conesiones modulo trasnformaciones "gauge", así como estructuras simplecticas y aplicaciones momento canonicas. Se definen las formas pontryagain en el fibrado de metricas de una variedad y, aplicando las construcciones canonicas en el espacio de matricas modulo difeomorfismos. En el caso particular de dimensión 2, se obtiene una forma pre-simplectica y una aplicación momento , y se semuestra que la reducción simplectica correspondiente en el espacio de teichmuller con la estructura simplectica de weil-petersson.

Autor: BRUNA FLORIS LLUÍS.
Año: 2004.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: FACULTAT DE CIÉNCIES.
Centro de realización: ESCUELA DE POSTGRADO.

Resumen: El objetivo de esta tesis es establecer el marco matemático adecuado para la estabilidad de la ecuación de Einstein G=XT, y una vez conseguido esto, encontrar las condiciones para que se dé este tipo de estabilidad cuando se considera un modelo de Robertson-Walker para el universo. El concepto de estabilidad lienal surge al preguntarse si realmente las soluciones de una ecuación linealizada sirve para aproximar las soluciones de la correspondiente ecuación lineal. En el caso de la ecuación de Einstein en el vacío G(g)=0 esta cuestión da lugar a la definición clásica de estabilidad, basada en la noción de tangencia. En consonancia con el punto de vista de Einstein en su artículo Sobre las ondas gravitatorias (1918), la estabilidad lineal de G=XT debe garantizar que un procedimiento como el siguiente sea correcto: interpretemos el universo como un modelo de R-W (g0, T0), los dos relacionado spor G(g0) = XT0; entonces dada una pertubación T de T0 y con la finalidad de encontrar la correspondiente perturbación *g de g0 que cumple G(g0 + *g) = X(T0 + *T), consieramos Dg0(*g) = X*T. En consecuencia es necesaria una definición de estabilidad lineal adaptada a esta nueva situación. Esqeumáticamente, todo lo que se exige es que las soluciones de la ecuación no lineal f(x)=y0+q y las de la ecuación linealizada Dx0f(h)=q puedan ser parametrizadas por el mismo espacio vectorial. Controlado por la condición **********. Aunque la tangencia ha pasado a ocupar un segundo plano, esta definición más laxa ha de implicar a la antigua cuando q=0 (para más dellates, véase el cap. 3). La primera es una pequeña modificaicón de la segunda; de hecho, la condición suficiente es la misma para las dos: la aplicación diferencial deber ser exhaustiva y su núcleo ha de tener un suplementario topológico. No obstante, esta nueva definición no puede ser aplicada directamente a la ecuación de Einstein escrita en la forma G=XT porque la condición sobre la energía divg(T)=0 liga las primeras deformaciones de g y de T. Debe buscarse por tanto un nuevo marco donde las variables que representan a la geometría y a la energía o materia sean independientes. Esto se consigue mediante un problema de Cauchy bien puesto ya que entonces a toda pertubación de los datos de Cauchy le corresponde una perturbación de la solución y por tanto la estabilidad por linealizaicón de las ecuaciones de ligadrua es equivalente a la del sistema formado por las ecuaciones G=XT y divg(T)=0. Todo el capítulo 1 está integramente dedicado al problema de Cauchy para la ecuación de Einstein en presencia de materia.

Autor: SANTAMARIA MERINO AITOR.
Año: 2004.
Universidad: CARLOS III DE MADRID.
Centro de lectura: ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR.
Centro de realización: UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID.

Resumen: En esta tesis se profundiza en la descripción de las Teorías Clásicas de Campos en términos de Geometría Multisimpléctica. Además, se realiza un análisis de las propiedades geométricas de ciertos problemas en mecánica, interesante para la construcción de una nueva familia de integradores numéricos cuyas propiedades de convergencia superan a las de los algoritmos clásicos. Se espera en el futuro extenderlos a las teorías de campos. Comienza con una breve exposición de la geometría simpléctica y aplicaciones a la mecánica, acompañada de una exposición paralela de la geometría multisimpléctica y los fibrados de jets, que son la base que describe las teorías clásicas de campos en términos multisimplécticos. En particular, la tesis completa la descripción con teoremas nuevos relativos a la existencia de coordenadas de Darboux, y una extensión de los triples de Tulczyjew a las Teorías de Campos. A continuación, se analizan los conceptos de simetría y cantidad conservada para las ecuaciones de la dinámica de las teorías clásicas de campos. Asimismo, se analiza la dinámica en presencia de superficies de Cauchy. Finalmente, se utilizan propiedades de las funciones generatrices para obtener nuevos métodos numéricos geométricos, particularizando para mecánica no holónoma y control óptimo, con mejor comportamiento a largo plazo, tal y como se prueba en algunos on ejemplos. La tesis concluye con una descripción de problemas abiertos en este campo.

Autor: PEÑA CARRERA MARTA.
Año: 2004.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: AULA CAPELLA ETSEIB.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.

Resumen: Lâobjectiu principal de la tesi és estudiar les deformacions de diferents objectes de la teoria de sistemes de control lineal per tal d'analitzar com varien les seves propietats qualitatives quan el sistema es veu sotmès a petites pertorbacions, així com la seva aplicació als problemes de classificació que hi apareixen. Els objectes fonamentals a què ens hem referit són operadors i subespais invariants associats a transformacions lineals i sistemes dinàmics lineals. De forma precisa, pel que fa a aquests últims considerarem els subespais (A,B)-invariants i (C,A)-invariants d'un sistema lineal definit per on A, B i C són matrius reals o complexes de tipus nxn, nxm i pxn, respectivament. Treballarem tant amb endomorfismes f : E E, en el cas de matrius quadrades, amb aplicacions lineals definides mòdul un subespai, f : X X/Y, en el cas de parelles horitzontals, o amb aplicacions lineals definides en un subespai, f : Y X, Y X , en el cas de parelles verticals. La metodologia per abordar els diferents problemes està basada en la utilització de tècniques geomètriques, en particular les tècniques d'Arnold per a l'estudi de les deformacions versals. En concret, i de tots els objectes pertorbats, en computem una deformació miniversal. Recordem que una deformació es diu miniversal si amb el menor nombre de paràmetres conté representants de totes les classes d'equivalència properes a l'element donat. Dintre dels objectes pertorbats, considerem diferents casos: deformacions d'aplicacions mantenint un subespai invariant fix, deformacions de subespais invariants mantenint una aplicació fixa i, per últim, ens plantegem un problema més general, quan ambdós, aplicació i subespai invariant, són pertorbats. Per a la resolució explícita de les pertorbacions de qualsevol d'aquests subespais invariants apareix un problema, que és trobar una forma canònica d'un representant de l'òrbita corresponent. És per aquest motiu que resulten particularment interessants els subespais marcats, que són aquells que admeten bases canòniques del subespai extensibles a l'espai total. Addicionalment, considerem un altre problema relacionat amb els subespais invariants, que és l'estudi de l'estabilitat d'aquests subespais. Obtenim condicions suficients que asseguren quan un subespai invariant és estable, tant pel cas de matrius quadrades com pel cas de parelles horitzontals de matrius.

Autor: ALEGRE RUEDA PABLO SEBASTIÁN.
Año: 2004.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: La curvatura de Riemann es una importante herramienta en el estudio de variedades. Así, es de sobra conocida la clasificación de los espacios de curvatura constante en función del valor de dicha curvatura. En Geometría casi-Hermítica, F.Tricerri y L.Vanhecke ampliaron este estudio a los espacios de curvatura seccional holomorfa constante generalizados. En esta Tesis, introducimos el caso análogo en Geometría casi-contacto métrica, definiendo los espacios de curvatura phi-seccional constante generalizados. Presentamos interesantes ejemplos utilizando diferentes herramientas geométricas, tales como los productos warped o alabeados, o las transformaciones conforme y D-conforme de métrica. Además, estudiamos las propiedades fundamentales de los nuevos espacios definidos, prestando especial atención a los casos en que presenten estructuras de contacto métricas, Sasakianas o trans-Sasakianas. En una segunda parte, realizamos el estudio de las desigualdades de B-Y. Chen para subarieades de un espacio de curvatura phi-seccional constante generalizado, tanto en el caso en que dichas subariedades sean tangentes al campo de estructura del espacio ambiente, como cuando sean normales.

Autor: HANS UBER MARÍA BELÉN.
Año: 2004.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE SEVILLA.

Resumen: Las subvariedades slant constituyen un tipo importante de subvariedades, tanto en la Geometría Compleja como en la Geometría de Contacto. Dichas subvariedades tienen la propiedad de constituir una generalización de las subvariedades invariantes y anti-invariantes, al mismo tiempo que describen las situaciones intermedias entre ambas. Por otra parte, las f-variedades constituyen un tipo de variedades que engloban a las variedades complejas y de contacto. En esta memoria, se presenta la definición de subvariedades slant en f-variedades, como una extensión natural de las definiciones para el caso complejo y de contacto, obteniéndose las primeras propiedades, resultados y caracterizaciones. El estudio se centra, especialmente, en el caso en que la variedad ambiente sea una S-variedad o una f-variedad con ciertas condiciones muy concretas. Se tratan diversos aspectos que pueden caracterizar a estas subvariedades: la dimensión, el carácter de minimalidad y umbilicalidad, la curvatura, etc. Un caso que precisa especial atención, es aquel en que la dimensión de la subvariedad es la menor posible, no trivial, donde se obtienen propiedades características. Se estudian ciertos tipos de subvariedades slant en S-variedades, cuyas definiciones están íntimamente ligadas con la f-estructura: subvariedades totalmente-f-geodésicas, f-umbilicales y seudo-f-umbilicales. Finalmente, se obtienen interesantes relaciones entre invariantes extrínsecos e intrínsecos de una subvariedad slant en un S-variedad con curvatura f-seccional constante. Continuamente, se hace referencia a los ejemplos presentados en la presente memoria, que respaldan el interés de la materia tratada.

Autor: MARTIN GRILLO RUBEN.
Año: 2006.
Universidad: POLITÉCNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: SALA D'ACTES DE L'FME.
Centro de realización: U FACULTAT DE MATEMATIQUES I ESTADISTICA SUD.