VARIEDADES COMPLEJAS

Autor: CERDÁN SALA ANA ÁFRICA.
Año: 2005.
Universidad: ALICANTE.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: A lo largo de la historia se han estudiado y demostrado numerosas desigualdades geométricas. La primera que se planteó y la más conocida es la desigualdad isoperimétrica plana. Posteriormente fueron apareciendo numerosas variantes de esta desigualdad y generalizaciones a dimensiones superiores, desarrollándose un gran campo de desigualdades geométricas que comparaban el valor de diferentes magnitudes geométricas de un conjunto.En paralelo a estas desigualdades fueron apareciendo numerosas desigualdades isoperimétricas relativas. En éstas se buscaba comparar el área (o el volumen en dimensiones superiores a dos) de un conjunto E con el perímetro relativo, entendiéndose por éste la medida de parte de la frontera de E, en particular la parte de la frontera que estaba incluida en otro conjunto G abierto (frontera relativa).La motivación de esta tesis ha sido extender el concepto de desigualdad isoperimétrica relativa al de desigualdad geométrica relativa, en la que se comparan otras magnitudes geométricas relativas además del área y el perímetro relativo.Si se considera G un conjunto abierto del espacio euclideo y se realiza una subdivisión de G por una curva continua en dos subconjuntos E y GE con interior no vacío y frontera rectificable, se definen las desigualdades geométricas relativas como desigualdades que comparan magnitudes que proporcionan información sobre E, no de un modo absoluto sino en su relación con el conjunto ambiente G o su complementario GE.: C1 mayor =m(E,G)/g(E,G)"a mayor =C2, donde m(E,G) y g(E,G) son magnitudes geométricas relativas y C1, C2 y a son constantes no negativas. Uno de los objetivos de esta tesis es obtener las constantes geométricas relativas, que se definen como el rnfimo y el supremo de la razón dada, así como los conjuntos para los que se alcanzan estas cotas, denominados maximizadores y minimizadores. También se estudiarán características y propiedades geométricas de los conjuntos extremales. Las desigualdades geométricas estudiadas en esta memoria comparan las siguientes magnitudes: 1) Diámetros relativos (máximo y mínimo) con el perímetro relativo, 2) Inradios relativos (máximo y mínimo) con el perímetro relativo, 3) Desigualdades isodiámetricas relativas, en las que se compara el volumen relativo con los diámetros relativos, 4) Volumen relativo con los inradios relativos, 5) Volumen relativo con las anchuras relativas y 6) Desigualdades geométricas relativas sobre superficies compactas y convexas, comparando el área de superficie relativa y el perímetro relativo con los diámetros relativos. Finalmente se describen una serie de aplicaciones de estas desigualdades, tanto a otras ramas de las matemáticas como a problemas de la vida real. Algunas de éstas son aplicaciones conocidas de las desigualdades isodiamétricas relativas y otras son aplicaciones originares de las desigualdades estudiadas.

Autor: MANJARÍN ARCAS MÓNICA.
Año: 2005.
Universidad: AUTÓNOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES.
Centro de realización: DEPARTAMENT DE MATEMÁTIQUES.

Resumen: Presentamos y estudiamos tres procedimientos de tipo geométrico para construir variedades complejas compactadas por medio de productos, suspensiones y fibrados por circulos principales a partir de una clase T de variedades compactas de dimensión impar. Así mismo, se dan criterios para determinar cuando dichas variedades son de tipo Kähler. El interés de la cuestión radica en la escasez de resultados y ejemplos manejables de variedades compactas complejas que no sean de tipo Kähler. Las variedades de partida están dotadas de una estructura normal casi de contacto, que consiste en un campo vectorial sin ceros, una estructura CR de dimensión máxima y una distribución transversa al campo, todos ellos verificando ciertas condiciones de compatibilidad. En la primera parte de la tesi se discuten ejemplos de esta clase de variedades y se obtiene una nueva familia de estructuras normales casi de contacto sobre grupos de Lie compactos conexos semisimples que a diferencia de las conocidas hasta ahora no son invariantes por la izquierda. En la segunda parte se discuten tres procedimientos para definir estructuras complejas sobre ciertas variedades compactas obtenidas a partir de variedades dela clase T. En la tercera parte se demuestran criterios para decidir cuáles de las variedades complejas obtenidas admiten una métrica de Kähler. Probamos que existe una obstrucción para que las variedades complejas puedan obtener una métrica de Kähler: la clase de cohomología definida a partir de la estructura normal casi de contacto, debe ser anual. Cuando las variedades de partida verifican una hipótesis suplementaria, más precisamente, cuando el campo vectorial asociado es de tipo Killing, podemos dar un criterios necesario y suficiente en dos de las construcciones. En la tercera construcción demostramos una caracterizaicón completa en algunos casos particulares. Finalmente se discuten ejemplos en dimensión compleja 2.