HOMOTOPIA

Autor: GUTIÉRREZ MARÍN JAVIER JOSÉ.
Año: 2003.
Universidad: BARCELONA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE BARCELONA.

Resumen: La localización es una técnica bien conocida en álgebra conmutativa y geometría algebraica.Muchas de las propiedades formales de las localizaciones de módulos son compartidas por otras transformaciones de naturaleza parecida definidas en otros contextos.Este hecho ha conducido a una axiomatización del concepto de funtor de localización en categorías arbitrarias, con una terminología similar a la del álgebra. La implementación de la localización en topología algrebaica tuvo sus raíces en los trabajos de Serr y Adams, y se comenzó a formalizar principalmente gracias a las contribuciones de Sullivan y Quillen. Las localizaciones homológicas fueron la vía principal de transporte a la homotopía estable, así como la herramienta principal para el cálculo de los grupos de homotopía estables de las esferas durante muchos años. En las dos últimas décadas ha ido aumentando cada vez más el uso de técnicas del álgrabra conmutativa en homotopía estable.La teoría de homotopía estable se centra en el estudio de los espectros y captura una parte esencial de las propiedades momotópicas de los espacios, prescindiendo de los fenómenos peculiares que se dan en dimensiones concretas.El tratamiento axiomático de la categoría estable utilizando el lenguaje de categorías de modelos y categorías trianguladas ha dado lugar a nuevas categorías estables, como la categoría de los espectro semétricos o la categoría de los S-módulos , que permiten trasladar fielmente diversas técnicas y contruciones del álgrabra conmutativa a la categoría estable, y trabajar con "espectros anillo"y "espectros módulo"de la misma manera que consus análogos algebraicos. El objetivo principal de esta memoria es el estudio de los funtores de localización en homoatopía estable,centrándose fundamentalmente en las estructuras algebraicas quse conservan bajo la acción de estos funtores.Uno de los resultados centrales de este trabajo etablece que,bajo hipótesis apropiadas , los funtores de localización en la categoría homotópica estable transforman espectros anillo en espectros anillo, i espectros módulos sobre un anillo espectros módulos sobre el mismo espectro anillo (o incluso sobre el localizado de ese espectro).Como consecuencia de este hecho se obtiene que las localizaciones conservan los GEMs estables y que la localización de un espectro de Elinberg-Mac Lane tene como máximo dos grupos de homotopía no trivales en dimensiones consecutivas.También se caracterizan las localizaciones del espectro de Elenberg-Mac Lane asociado al anillo de los enteros, que tienen un solo grupo de homotopía no nulo con estructuras de anillo rígido .Este hecho demuestra que la existencia de una clase propia de funtores de localización no equivalentes. Estos y otros resultados recientes en teoria de localización tratan de la conservación de estructuras bajo la acción de las localizaciones.Algunas de estas estructuras pueden incluirse dentro del marco más general de álgebras sobre opéradas.Las opéradas con objetos que codifican estructura algebraicas.Se utilizaron a principios de los 70 como herramientas en teoría de homnotopía para el estudio de los espacios de lazos iterados.El estudio de las opéradas en categorías monoidales simétricas permitió importantes aplicaciones en álgebra, topología y física. En la última parte de la memoria tratamos sobre la conservación por funtores de localización de estructuras definidas como álgebras sobre opéradas en una categoría de modelos simplicial y monoidal simétrica.Estas estructuras incluyen los espacios de lazos y los espectros anillo estrictos.El principal resultado de esta parte establece que en una categoría de modelos monoidal, los funtores de localización conservan las estructuras de álgebras sobre opéradas simpliciales confibrantes.Este resultado demuestra que la localización de un espacio de lazos es homotópicamente equivalente a un espacio de lazos y que la localización de un espectro anillo(estricto)es homotópicamente equivalente a un espectro anillo(estricto)cuan 8 do el fu 1c1 ntor de localización conmuta con la suspensión.

Autor: MURO JIMENEZ FERNANDO.
Año: 2003.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: FACULTAD DE MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: En esta tesis se aborda el desarrollo del programa de Whitehead en teoría de homotopía propia. Concretamente la determinación de modelos algebraicos de tipos de homotopía propia estable de CW-complejos localmente compactos simplemente conexos de dimensión cuatro con a lo más tres finales. Los modelos finalmente construidos vienen dados por el complejo de cadenas celulares en homotopía propia junto con un nuevo invariante cohomológico, que denominamos invariante de Steenrod. Para ello se definen diversos funtores cuadráticos en las categorías abelianas donde viven los módulos de homología propia. Por medio de algunos dichos funtores se calcula el menor módulo de Whitehead no trivial en función de la homología. Se definen invariantes de James-Hopf en homotopía propia que nos permiten construir nuevos invariantes cohomológicos tipo cup-producto. Se define también, de manera homotópica, el invariante cup-producto de un complejo de cadenas acotado de módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo del espacio de finales de un árbol. Dicho invariante da lugar a la clase cup-producto en la cohomología de categorías homotópicas de complejos de cadenas. Se realiza un detallado estudio de la teoría de representaciones de los anillos del espacio de finales de un árbol. Gracias a ello, o para espacios con a lo sumo tres finales, se construye una sucesión exacta larga de Bockstein en cohomología de categorías. Esta sucesión permite calcular a partir del cup-producto de complejos de cadenas la clase en cohomología de categorías determinada por la obstrucción a la realización geométrica de morfismos entre los complejos de cadenas celulares en homotopía propia. Se define un funtor de suspensión de complejos cruzados a cuadráticos que determina el funtor suspensión en la L-categoría de complejos cuadráticos totalmente libres. Además, se calcula explícitamente la co-H-estructura de un complejo cuadrático suspendido, probándose que es una estructura estricta de cogrupo. Gracias a ello se desarrollan técnicas de álgebra cuadrática controlada que permiten dar una descripción puramente algebraica del cup-producto de complejos de cadenas. Con ayuda de estos resultados realizamos diversos cálculos explícitos en cohomología de categorías. Entre otras cosas probamos que la clase cup-producto de complejos de cadenas es no trivial de orden dos para espacios con tres o más finales y que la clase de obstrucción es trivial para espacios con a lo sumo tres finales. Esto último nos permite nuevos invariantes cohomológicos en homotopía propia, que denominamos de Steenrod, y que permiten modelar algebraicamente tipos de homotopía propia de la forma antes mencionada.

Autor: BUIJS MARTÍN URTZI.
Año: 2005.
Universidad: MÁLAGA.
Centro de lectura: UNIVERSIDAD DE MÁLAGA.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE MÁLAGA - UNIVERSIDAD DE GRANADA.

Resumen: El objetivo de la presente Tesis es comprender el comportamiento racional de ciertas construcciones relacionadas con los espacios de funciones libres y basadas. La herramienta que constituye el punto de partida de este trabajo es el modelo para el espacio de funciones desarrollado por Beown y Szczarba haciendo uso del funtor de realización de Bousfield-Gugenheim. A partir de aquí se desarrollan modelos para las aplicaciones evaluación, la evaluación en el punto base, la aplicación inducida entre dos espacios de funciones por otra, y la inclusión de un componente en el espacio total, esta última partiendo restringir todas las anteriores a un componente particular. Una vez desarrolladas estas herramientas algebraicas se estudian los grupos de homotopía racional de las componentes del espacio de funciones en términos de derivaciones relativas a un morfismo, generalizando resultados de Lupton y Smsith y como aplicación, métodos para trabajar con grupos de Gottlieb, entre otros. A continuación se da una descripción completa del álgebra de Lie en homotopía de las componentes del espacio de funciones, tanto libres como basadas, haciendo uso de las derivaciones relativas, obteniendo como Corolario un isomorfismo entre homotopía racional de la componente de la constante y el producto tensorial de la cohomología de X y la homotopía de Y, generalizando un resultado conocido de Vigué en el que prueba esto mismo en el caso en que la dimensión de X es menor que la conectividad de y de tal forma que el espacio de funciones basado escindan como un producto de espacios de Eilenberg Mac-Lane, racionalmente.